《2.2.2 圆的参数方程》导学案2

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1、《2.2.2圆的参数方程》导学案2学习目标1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.知识梳理1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．思考探究1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】　椭圆＋＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．学习过程

2、例题精解例题1　在圆x2＋2x＋y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．【自主解答】　圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以设圆的参数方程为设P(－1＋cosθ，sinθ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为d＝＝＝(其中sinα＝，cosα＝)．当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝，即θ＝－α时，d取到最大值，此时x＝－1＋cosθ＝－1－，y＝sinθ＝－，即点P(－1－，－)即为所求．例题2已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最

3、大值和最小值．【解】　圆x2＋y2＝1的参数方程为(α为参数)．∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cosαsinα＋3sin2α＝＋sin2α＋3×＝2＋sin2α－cos2α＝2＋sin(2α－)．则当α＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋，当α＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最小值为2－.课堂作业1．已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是________．【解析】　x2＋y2＝4x可化为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r＝2.∴参数方程为(

4、θ为参数，0≤θ＜2π)．【答案】　(θ为参数，0≤θ＜2π)2．点P(x，y)在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上运动，则3x＋4y的最大值为________，的最小值为________．【解析】　设x＝1＋cosθ，y＝1＋sinθ，所以3x＋4y＝7＋3cosθ＋4sinθ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sinα＝，cosα＝)，所以当sin(θ＋α)＝1时，3x＋4y取到最大值12.设t＝＝，则sinθ－tcosθ＝t－1，从而sin(θ－α)＝t－1(其中sinα＝，cosα＝)，＝sin(θ－α

5、)，所以≤1，解得t≥0，即的最小值为0.【答案】　12　0课后检测1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值．【解】　设(0≤θ<2π)，于是u＝x2＋2xy－y2＝4cos2θ＋8cosθsinθ－4sin2θ＝4cos2θ＋4sin2θ＝8sin(2θ＋)．所以，当θ＝，x＝，y＝1时，或θ＝，x＝－，y＝－1时，umax＝8；当θ＝，x＝－1，y＝时，或θ＝，x＝1，y＝－时，umin＝－8.2．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．【解】　令x－1＝2cosθ

6、，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋φ)(tanφ＝2)．∴－2≤2x＋y≤2.即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.3．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．【解】　直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1＋s2＝6，s

7、1s2＝10.AB＝

8、s1－s2

9、＝＝2.4．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)，(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，

10、P点轨迹的参数方程为(α为参数)，P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．