《3.1 数系的扩充》教学案

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1、《3.1数系的扩充与复数的概念》教学案教学目标1、经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。教重难点：重点：复数的基本概念.难点：虚数单位i的引进及复数的概念。教学过程：一、课题引入数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人

2、们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集

3、实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数1、思考：我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac＜0时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集

4、中，该问题能得到圆满解决呢？2、引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1)它的平方等于-1，即；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。3、复数的一般形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式。4、形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间有如下的关系：5、理解数的分类：6、注意对虚部(z＝a＋bi，b叫做z的虚部，它是一个实数)和纯虚数(z＝a＋bi，当a＝0

5、，b≠0时，z＝bi叫做纯虚数)、零(z＝a＋bi，当a＝b＝0时，z＝0)和纯虚数以及虚数(z＝a＋bi，b≠0时，z叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆，请同学们辨析清楚。7、若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＝z2如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这是复数相等的定义，也就是说，它是一项规定．由这个定义可以得出一个推论：二、练习检测说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与部。　　　　0.618，　　　0，　　　　　　　　　　　　5i+8，4，2－3i，0，，，6i.三、

6、例题讲解例1、实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i是(1)实数　(2)纯虚数？　(3)虚数？【分析】因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.【拓展练习】当m为何实数时，复数。(1)实数(2)虚数(3)纯虚数(1)m=(2)m=(3)m=-2例2、已知，其中求x与y.根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y

7、=4四、练习巩固1、若x，y为实数，且，求x，y.2、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=2五、课堂小结1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：复数的代数形式:复数的实部、虚部虚数、纯虚数复数相等