中学数学研究-陕130724以审慎和发展的眼光优化教材

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1、资料编号14709三角函数两角差的余弦公式黄超发表在陕130724上属于教法、辅导、教材题为《以审慎和发展的眼光优化教材》对于“两角差的余弦公式”这节课，有很多的问题值得研究.比如，作为一章的起始课，如何引人更能激发学生的学习兴趣？如何发现公式？可以采用探究式教学吗？一个偶然的机会，笔者发现一个值得研究的问题.1缘起笔者参与了某次招聘新教师的听课活动，课题为人教A版《数学4》第三章第一节，即3.1.1两角差的余弦公式.四节课听完，产生了很多的想法，比如，课题的引人采用何种情境较为理想，如何给出公式（或通过什么方式引出公式），在课堂中提出是否成立”是否必要、如何有效促进学生的探究，等等，

2、这些问题其实并无确切的答案，大多是“智者见智，仁者见仁但其中一个疑惑使笔者产生了思考的欲望，那就是教材对两角差的余弦公式的推导过程的安排“先采用几何法（注：此处的几何法指文献[1]中在单位圆内构造直角三角形进行推导的方法，下文同）推导，再用向量法验证”是否合适？带着这个问题，笔者再次研读教材，又听了本校三位教师的课，并对本县的部分髙一数学教师做了问卷调査.在此基础上，比较了现行五种版本教材对公式推导过程的处理，并参阅了近年来发表在期刊上的相关文章，对这个问题有了一些粗浅的看法.2研究2.1对教材及文献资料的初步解读人教A版教材为什么要安排用几何法推导两角差的余弦公式呢？从人教A版教材讲

3、师团的一位名师在新课改伊始的培训报告中可窥其一斑：“（1)向量法简单，但是思路并不自然，而且还失去了对学生思维能力培养的机会.（2)公式的推导方法很多，不同方法、从不同角度看同一个问题，体现了知识之间的多角度联系.例如，从圆的4旋转对称性’这一几何性质出发，可以得到另外的方法.故精心设计教学过程，为向量法的引出做好铺垫，在两角差余弦公式的推导上要舍得用些课时从数学思想方法的角度看，几何法使用了构造思想.三个角如何构造，怎样把它们放置在坐标系中可以有效解决，这是几何法的第一个难点.在笔者所听的课中，有的教师用讲授法直接给出了教材的证明方法;有的教师试图引导学生来构造，结果得到的构造方式五

4、花八门，最后教师不得不将学生拉回教材设计的思路（因为用有的构造方法解决问题会更加困难，或者根本解决不了问题），徒然耗费教学时间，对学生的数学能力培养并没有多大帮助.换言之，教材所述的几何法缺乏思维的台阶，并不是自然的思不少的推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的.”按照教材，到这里不但没有明确得到公式对角《、/?为任意角时也成立，而且还郑重其事地用比较繁难“提醒”学生.如此处理的用意何在？过程是否繁难，是以学生的体验为判断标准的，在文献[4]中，杨育池老师通过对学生的启发使学生顺利地解决了这个问题，给出了该问题的一个不错的回答，在解决问题的同时提高了学生的思考能力（此处略，有兴

5、趣的读者可以参考原文）.应该说，这个难点的确较难突破，但人教A版教材其他地方对类似问题的处理一般是在边注中提问：“这个公式对角为任意角时也是成立的，你能证明吗？”如果教材想用几何法培养学生的思维能力，那就应该继续深入地探讨这个问题，而不是就此打住.运用向量法推导，其实推广的问题也是值得注意的.教材上给出了说明，但教师未必能注意到.教材中还有一句话，或许可以为选用几何法做一个注解：“运用向量工具进行探索，过程多么简洁”，但不至于为了凸显向量法的优越性而呈现几何法吧？2.2“课程标准”的要求及其他版本教材的处理方法笔者带着疑惑翻阅了《普通高中数学课程标准(实验）》（以下简称《标准》)及其他

6、版本的教材，没有发现运用几何法推导两角差的余弦公式，即人教A版的处理是独一无二的.《标准》指出：在本节中，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用（里面特别提到的是向量法）.北师大版教材、湘教版教材都以复习向量的数量积为引，直接利用向量法导出两角差的余弦公式，并提示可利用诱导公式证明公式对角a、/?为任意角时也成立；人教B版教材先给出公式，然后用向量法证明；苏教版以特例引人，利用向量法导出公式，并在随后的探究中提出如何利用距离证明公式的问题；以前的人教版教材（新课改之前的教材，未引人平面向量），是在用“旋转对称法”来推导两角和的余弦公式后得到两角差的余弦

7、公式的，也是在较长时间内得到教师和学生认可的方法，这其中，并没有提到几何法.从《标准》和各种版本的教材来看，几何法推导公式并不被大部分专家学者看好，其根源在于和向量法比较，几何法有着自身的不足.按照教材编写顺序，“用向量法推导和发现公式是不自然的”这种说法其实也不甚合理.课程标准和教材将“平面向量”置于“三角恒等变换”之前，其目的之一就是用向量法推导两角差的余弦公式.另外，就人教A版教材自身而言，第108页习题2.4B组第2题:“在平面直角坐标