3第三章 参数估计-点估计

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1、统计推断参数估计假设检验点估计区间估计矩估计最大似然估计参数假设检验非参数假设检验最小二乘估计第三章参数估计§3.1点估计设总体X的分布函数为F(x;θ),θ为待估计参数，X1,X2,…,Xn是X的样本，x1,x2,…,xn是相应样本值。Question：如何利用这些信息估计参数θ？Answer：构造一个适当的统计量用它的观察值作为θ的近似值。称为θ的估计量，称为θ的估计值。1.矩估计法理论依据：辛钦大数定律由英国统计学家K.皮尔逊提出.且具有数学期望辛钦设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，则对任意ε>

2、0，有K.皮尔逊命题若总体X的k阶矩存在，证独立、同分布辛钦大数定律独立、同分布为X的样本，则矩估计的基本思想：令⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为令其中为X的样本，解出称为θ的矩估计量。例1设总体X的概率密度为解是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数α的矩估计量.令，则α的矩估计量为例2设总体一个样本，求的矩估计量。为X的Answer:⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为令其中为样本，解出例3设总体X的分布律为其中参数未知，现有一组样本值解θ的矩估计值为1,1,1,3,2,1,3

3、,2,2,1,2,2,3,1,1,2试求θ的矩估计值。令Question:设X的概率密度为设X1,X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的矩估计量。Answer:θ的矩估计量不存在。练习P68：1,3,42.最大似然估计◆1821年,德国数学家高斯提出最大似然估计法；◆1922年,费歇重新发现了这一方法，并研究了这种方法的统计性质。GaussFisher最大似然法的基本思想：问题：请推断兔子是谁打中的？例1袋中放有白球和黑球共4个，今进行3次有放回抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试估计袋中白球个数

4、。解设袋中白球个数为m，X为3次抽样中抽得的白球数，则当袋中白球数m分别为1,2,3时，p对应的值分别为1/4,2/4,3/4，X对应的分布律见下表袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/422/433/4袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6422/433/4袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/6422/433/4袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/649/6422/433/4袋中白球数

5、mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/649/641/6422/433/4袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/649/641/6422/48/6424/6424/648/6433/4袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/649/641/6422/48/6424/6424/648/6433/41/649/6427/6427/64袋中白球数mp抽到白球数xx=0x=1x=2x=311/427/6427/649/6

6、41/6422/48/6424/6424/648/6433/41/649/6427/6427/64当p=3/4时，P{X=2}的概率最大，估计袋中白球个数为3比较合理。其分布律为，其中θ未知。为X的样本，为X的样本值，⑴X为离散总体情形称为似然函数。当时，称称为θ的最大似然估计量；称为θ的最大似然估计值。表示取到样本值的概率具体算法：令两边取对数令设X1,X2,…Xn是取自总体X~b(1,p)的一个例2样本，求参数p的最大似然估计值。解例3设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数λ的最大似然

7、估计量。似然函数为:最大似然估计量为(2)X为连续型随机总体情形设X的概率密度为f(x,θ),θ未知，为X的样本，为样本值，则的联合密度为称为似然函数求使称为θ的最大似然估计量；称为θ的最大似然估计值。例4设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数λ的最大似然估计值。解似然函数当令所以时例5设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数的最大似然估计值。解令所以的最大似然估计值为例6设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数a,b的最大似然估计值。解似然函数所以所以则要使得取

8、最大值注：特殊的似然函数通过求导得不到其最值点，需要用似然估计的思想来求。例7设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,求⑴参数θ和μ的矩估计量；⑵参数θ和μ的最大似然估计量。解⑴令所以解得参数θ和μ的矩估计量为⑵设x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn的样本值，则似然函数为其中当时令第二个似然方程求不出θ的估计值，观察，表明L是μ的严格递增函数，又，故当时L取到最大值从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为