ch12：数值计算方法之数值积分

《ch12：数值计算方法之数值积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第12章：数值积分与数值微分设f(x)是[a,b]上连续可积的实函数，求f(x)在[a,b]上的数值积分也就是求f(x)在[a,b]上的定积分的数值解。即使我们能找到f(x)的一个原函数F(x)的解析形式,并利用牛顿-来布尼兹公式进行计算，在许多情况下这也是非常麻烦的。问题的关键在于，初等函数的原函数不一定还是初等函数，在这种情况下并不能利用牛顿-来布尼兹公式进行计算。本章的主要任务是寻找求数值积分的最有效的计算方法，最后建议的方法是变步长复化辛卜生加速算法，为此，需要经过一个曲折的分析过程。12

2、.1求积公式与代数精度的概念由定积分的定义可知，连续函数f(x)在区间[a,b]上的定积分近似值可以表示为[a,b]内的一些点x0,x1,…,xn处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或线性组合，即（1）其中w0,w1,…,wn仅与x0,x1,…,xn有关而与被积函数f(x)无关。我们把这样的公式称为求积公式，也称为机械求积公式。1．术语和记号为了计算f(x)在区间[a,b]上的定积分近似值，我们通常的做法是，把积分区间[a,b]划分为n等分，记h=(b-a)/n,x0=a,xk

3、=a+kh,k=0,1,2,…,n,称x0,x1,…,xn为[a,b]的一个等份分划。假如x0,x1,…,xn为[a,b]的一个等份分划那么求积公式(1)中的w0,w1,…,wn的选取仅仅只与n有关，从而可以简化对求积公式的研究。结论，只要给出了一个如何确定（1）式中的诸w0,w1,…,wn的机制，我们就可以得到相应的对任何被积函数都有效的计算定积分方法。2.求积公式的性质微积分学中我们曾研究过，定积分保持函数的线性关系不变，它的含义是，若f(x),g(x)都是[a,b]上的可积函数，则对任意实数

4、u,v,我们有u·f(x)+v·g(x)也是[a,b]上的可积函数，而且不难验证，求积公式也保持函数的线性关系不变，即3.几种常见的求积公式在后面的讨论中，我们将经常用到下面一些非常简单的求积公式，他们是中点公式、梯形公式和辛卜生公式。中点公式我是我们课程中强调的一个名词，与求积公式（1）对比分析，可以认为它是这样一种机制：把积分区间分为2等分，取w0=w2=0，w1=1所形成的求积公式。从几何上看，它实际上是取区间中点的函数值与区间长的积作为定积分值，类似于用中位线乘以高来计算梯形的面积。4．截

5、断误差在求积公式中，我们使用的是近似等号，这是因为，对于一般的被积函数来说，利用这些公式计算所得的结果除了舍入误差外，还有截断误差，因为定积分是用极限来定义的。有时为了进行误差分析，我们可以把上面的（1）式写成（1’）其中R[f]表示的就是截断误差。考察前面给出的三个求积公式，如果被积函数是线性函数，那么利用中点公式或梯形公式所得到的结果就是准确值，否则一般不是。对于一般的非线性函数，感觉上辛卜生公式更好一些。为了刻划求积公式对一般的被积函数的精确度，我们引进代数精度的概念。5.代数精度的概念定义

6、：一个求积公式如果对所有的次数不超过m的多项式严格相等，而对某些m+1次多项式不相等，则称该公式具有代数精度m，或该公式的代数精度为m。利用求积公式的线性性，我们不难证明下面的结论。定理：如果求积公式对1，x,…,xm严格相等，而对xm+1不相等，则该公式的代数精度为m。作为课外练习，鼓励大家给出完整证明。6.基本结论我们可以利用上面的定理所给出的方法证明辛卜生公式的代数精度是3，而中点公式和梯形公式的代数精度是1。现在我们可以对这三个公式作一个简单的评价：中点公式和梯形公式的代数精度虽然都是1，

7、但中点公式只计算一个点的函数值，而梯形公式却要计算两个点处的函数值，所以中点公式优于梯形公式。与梯形公式相比，辛卜生公式只多计算一个点的函数值，但代数精度却增加到3，显然辛卜生公式更为优越。10．2牛顿-柯特斯求积公式牛顿-柯特斯求积公式就是利用Lagrange插值多项式导出的求积公式。把一般的函数的积分转化为相应的插值多项式函数的积分也是我们学习插值法的基本目的之一。1.利用插值多项式近似替代被积函数设f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，x0,x1,…,xn为[a,b]内的n+1个互异的点

8、，记Ln(x)为相应的拉格朗日插值多项式，那么我们有f(x)=Ln(x)+Rn(x)2.利用插值多项式导出求积公式提示：在上面给出的公式中，由于诸lk(x)都是多项式函数，所以诸wk都可以精确地计算出来。从而可以得到一般性的求积公式。2.利用插值多项式导出求积公式（注释）回顾上一章关于多项式插值的结论，由于任意次数不超过n的多项式与它的任意n+1个基点的插值多项式恒等，再由求积公式的代数精度的定义，我们立即得到：由n+1个基点的拉格朗日插值多项式所形成的求积公式的代数精度至少式n，