《2.3.2 抛物线的简单几何性质》同步练习

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1、《2.3.2抛物线的简单几何性质》同步练习1．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2，3)，则它的方程是(　　)．A．x＝－y或y＝xB．y＝－x或x＝yC．x＝yD．y＝－x2．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x，y)两点，若x1＋x2＝3p，则

2、PQ

3、等于(　　)．A．4pB．5pC．6pD．8p3．直线l过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为8，AB的中点到y轴的距离为2，则此抛物线的方程为(　　)．A．y＝12xB．y＝8xC．y＝6xD．y＝4x4．设点A是

4、抛物线y＝4x上一点，点B(1，0)，点M是线段AB的中点，若

5、AB

6、＝3，则M到直线x＝－1的距离为____．5．若动圆P与圆C：(x－2)＋y＝1外切，又与直线l：x＋1＝0相切，则动圆的圆心P的轨迹方程为________．6．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且

7、AB

8、＝p，求AB所在的直线方程．7．直线y＝kx－2交抛物线y＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)．A．2或－1B．－1C．2D．38．已知F是抛物线y＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，

9、AF

10、＋

11、BF

12、＝3，则线段AB的中点P

13、到y轴的距离为(　　)．A.B．1C.D.9．过点M(2，4)作与抛物线y＝8x只有一个公共点的直线l有________条．10．抛物线y＝x上的点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是____________．11．顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求这抛物线方程．12．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．答案：1、答案　B2、解析　设焦点为F，则

14、PQ

15、＝

16、PF

17、＋

18、QF

19、＝＋＝x1＋x2＋p＝4p，故选A.答案　A3、答案　B4、答案　5、解析　设

20、动圆P的半径为R，则有

21、PC

22、＝R＋1，P到直线l的距离d＝R，所以P到直线l′：x＝－2的距离为R＋1，即P点到定点(2，0)的距离与P点到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义知P点轨迹方程为y2＝8x.答案　y＝8x6、解　焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则

23、AB

24、＝2p

25、AB

26、＝x1＋x2＋＋＝＋p＝p，∴k＝±2.∴AB所在直线的方程为y＝2或y＝－2.7、解析　由得：kx－(4k＋8)x

27、＋4＝0，由Δ＞0且x1＋x2＝＝4得k＝2.答案　C8、解析　y2＝x的准线方程为x＝－，过A、B、P分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、P1.由抛物线定义知

28、AF

29、＋

30、BF

31、＝

32、AA1

33、＋

34、BB1

35、＝2

36、PP1

37、＝3，∴

38、PP1

39、＝，∴P到y轴的距离为－＝.答案　C9、解析　容易发现点M(2，4)在抛物线y＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切．答案　210、解析　设点A(x，y)是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d＝

40、2x－y－4

41、＝

42、2x－x－4

43、＝

44、－(x－1)－3

45、≥.当且仅

46、当x＝1时，d取得最小值，故所求点为(1，1)．答案　(1，1)11、解　设抛物线方程为：x＝ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x－ax＋a＝0，因直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)－4×2×a>0，即a<0，或a>8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，弦长为

47、AB

48、＝＝＝＝.∵

49、AB

50、＝，∴＝，即a－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.∴所求抛物线方程为：x＝－4y或x2＝12y.12、解　如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2

51、，y2)，y＝2px1，y＝2px2.又∵

52、OA

53、＝

54、OB

55、，∴x1＋y1＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∴x1>0，x2>0，2p>0，∴x1＋x2＋2p≠0.即A、B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°.∴AB⊥x轴，∴y1＝x1tan30°＝x1.又∵x1＝，∴y1＝2p.而

56、AB

57、＝2y1＝4p即为所求边长．