《2.3.2 抛物线的简单几何性质》导学案

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1、《抛物线的简单几何性质》导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y＝2px(p>0)y＝－2px(p>0)x＝2py(p>0)x＝－2py(p>0)图形性质范围    对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝ 2．焦点弦直线过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y

2、1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，

3、AF

4、＝x1＋，

5、BF

6、＝x2＋，故

7、AB

8、＝ 3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.【问题探究】探究点一　抛物线的几何性质问题1　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题2　通过抛物线的几

9、何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1　若抛物线y＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)A．B．C．D．跟踪训练1　抛物线y＝2px(p>0)上一点M的纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求

10、AB

11、的值；（2）若

12、AB

13、＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2　已知过抛物线y＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三　直线与抛物线的位置关系问题　结合直线与椭圆、直

14、线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3　已知抛物线的方程为y＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3　过点(－3,2)的直线与抛物线y＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的弦，则

15、AB

16、的最小值为(　　)A．B．pC．2pD．无法确定2．设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A．B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4

17、]3．抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)A．(1,2)B．(0,0)C．D．(1,4)4．已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，

18、AF

19、＝2，则

20、BF

21、＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关

22、于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（）A．2B．3C．4D．42．设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，若，则点的坐标为（）A．B．C．D．3．已知直线l：y＝－x＋1和抛物线C：，设直线与抛物线的交点为，求的长。4．过点的直线与抛物线只有一个公共点，求此直线方程。