材料力学-第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)

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1、§9-1挠曲线挠度和转角§9-2挠曲线的近似微分方程§9-3积分法求梁的变形§9-4叠加法求梁的变形§9-5梁的刚度条件与合理刚度设计§9-6用变形比较法解简单超静定梁1研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。2§9-1挠曲线挠度和转角一、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：ω=ω（x)θ(x)PCx梁变形用两个量来描述ω(x)C1ω1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。3MMAB

2、aabbABdMMABaabbAB变形后4θ(x)θ(x)PCx二、转角与挠曲线的关系：ω(x)C1ω小变形dtg(1)dx单位正负挠度与ω轴正向一致为正，反之为负。mm挠曲线上某点处的斜率为正，转角rad则该处横截面的转角为正。5§9-2挠曲线的近似微分方程x1M(x)M>0(1)EI01(x)小变形ω3(x)21(x)2M(x)(x)xEI2dM(x)M<0(2)2dxEI0ω式（2）就是挠曲线近似微分方程。6§9-3积分法求梁的变形一、求挠曲线方程（弹性曲线）确定挠曲线方

3、程的基本方法：积分法dM(x)dxC21dM(x)dxEIM(x)2dxEIdxdxC1xD1EI式中，C、D是积分常数，可通过梁的边界条件（支座11的约束条件）确定。梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积分常数还要利用连续性条件，才能求出。7二、位移边界条件FFACBD支座位移条件：00D0D0AB连续条件：或写成左右CCCC光滑条件：或写成左右CCCC8[例9-1]如图所示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。试求该梁

4、的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：Fl⑴建立坐标系并写出弯矩方程xxM(x)F(lx)ω⑵写出微分方程并积分2dM(x)F(lx)2dxEIEI12EIEIFlxFxC1(a)21123EIFlxFxCxD(b)11269⑶应用位移边界条件求积分常数F边界条件x0，0；lx0，0xxω把边界条件代入式(a)、(b)中，可得12EIEIFlxFxC12C10，D10EI1Flx21Fx3CxD112610⑷写出梁的转角方程和挠曲FL线方程并画出曲线x21

5、Fx(c)FlxEI2ω231FlxFx1(d)2EIEIFlxFxCEI26211123EIFlxFxCxD⑸最大转角及最大挠度112621212Fl(l)FlFlmaxEI22EI3331FlFlFl(l)maxEI263EI11[例9-2]如图所示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。试求该梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：⑴建立坐标系并写出弯矩方程aFF(xa)(0xa)M(x)0(axl)lx⑵写出微分方程并积

6、分ωF(ax)(0xa)EI0(axl)12FaxFxC1EIEI2C12212aFFaxFxC1EIEI2Cx2l1213ωFaxFxCxD11EI26CxD22⑶确定积分常数并写出转角方程和挠曲线方程x0,0C10边界条件x0,0D1012连续性条件xa,C2Fa2xa,1313DFa2612C10C2FaaF21D031DFa26xl把上式代入右式得ω1

7、2F2FaxFxC112axx(0xa)EIEI22EIC212Fa(axl)22EI1213FaxFxCxDF1123EI263axx(0xa)16EICxD22Fa2xa3(axl)326EI14F⑷最大挠度及最大转角22axx(0xa)12EI2Fa1(a)2maxFa(axl)2EI22EI2F23Fa3axa(axl)22(l)(3la)6EImax6EIaFxlω15[例9-3]求图示梁的跨中