逻辑等价式和永真蕴含式

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1、西安电子科技大学离散数学软件学院第一篇数理逻辑第1章命题逻辑第1课时1.1命题第2课时1.2命题公式第3课时1.3逻辑等价式与永真蕴含式第4课时1.4主范式第5课时1.5命题逻辑的推理与证明方法第6课时1.6命题逻辑的应用西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院逻辑等价:例如：P∧Q⇔Q∧PP→Q⇔¬P∨Q与联结词“↔”不同，等价符“⇔”是一个关系符，它表示命题公式A与B在相同的赋值下总是等值的。西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院证明：（i）充分条件若A↔B为重言式，则A,B在相同的赋值下的真值均相同，所以A和B是逻辑等价的公式，即A⇔

2、B.（ii）必要条件若A⇔B，则有A,B在相同的赋值下的真值均相同，所以A↔B为重言式.西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院西安电子科技大学§1.3.1逻辑等价式软件学院【定理】将命题式A中的某个子公式B用与B等替换规则价的另一个命题公式C置换，所得命题公式A′与A逻辑等价。例如：R∧(P→Q)⇔R∧(¬P∨Q)应用替换规则、代入规则和基本的逻辑等价式，可以将一个公式变换为另一个与之等价的公式。西安电子科技大学§1.3.2永真蕴含式软件学院永真蕴含：例如

3、：P∧Q⇒P永真蕴含符“⇒”也是一个关系符。A⇒B当且仅当A为T时，B一定为T，即“由A成立可以逻辑推出B也成立”西安电子科技大学§1.3.2永真蕴含式软件学院西安电子科技大学§1.3.2永真蕴含式软件学院假定¬Q∧(P→Q)为T，则有¬Q为T且P→Q为T.由P→Q为T，可得¬Q→¬P为T.又¬Q为T，可得¬P为T.故有¬Q∧(P→Q)⇒¬P.西安电子科技大学§1.3.2永真蕴含式软件学院依据：P→Q⇔¬P→¬Q假定¬P为F，则有P为T.下面对Q的真值进行讨论：（1）Q为T，可得¬Q为F，则有¬Q∧(P→Q)为F;（2）Q为F，P→Q为F，则有¬Q∧(P

4、→Q)为F;所以当¬P为F时，恒有¬Q∧(P→Q)为F。故有¬Q∧(P→Q)⇒¬P.西安电子科技大学§1.3.2永真蕴含式软件学院西安电子科技大学§1.3.3相关性质软件学院证明：A⇔B当且仅当A↔B为重言式.A↔B当且仅当(A→B)∧(B→A)为重言式当且仅当A→B且B→A为重言式，即A⇒B且B⇒A西安电子科技大学§1.3.3相关性质软件学院西安电子科技大学»内容总结和延伸软件学院逻辑等价式两个命题公式等价，当且仅当在同一赋值下的真值均相同，它们只是形式不同，内涵完全相同。永真蕴含式若A为真，则B必为真，就有A⇒B。逻辑等价与永真蕴涵的关系A⇔B，当且

5、仅当A⇒B且B⇒A。西安电子科技大学»结束语软件学院本节内容结束，谢谢大家！作业（离散数学书离散数学书）：PP18(2,3,4,5,7,10)(2,3,4,5,7,10)