数字信号处理课件第十一章经典谱估计

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1、第十一章第十一章经典谱估计经典谱估计11.1概述11.2自相关函数的估计11.3经典谱估计的基本方法11.4经典谱估计的质量11.5经典谱估计的改进11.6算法比较11.1概述请抓住并搞清楚如下四个问题：¾功率谱为什么要估计？¾如何估计？¾如何评价估计质量？¾如不理想，如何改进？平稳随机信号功率谱的两个定义：∞jjωω−mPeXx()=∑r(m)em=−∞21Mjjωω−nPeX()=limE∑x(n)e二者等M→∞21M+nM=−2效的：Xe()jω=limEM→∞21M+求极

2、限运算求均值运算随机信号的单个样本平稳信号Xn()单一样本xn(,i)⇒x(n)有限xn()M长P()ejωjωXP()ex可将xnM()看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：2Mjjωω1−nPeMM()=∑x(n)e21M+nM=−xn()jω问题：M的功率谱PM()e和单个样本的jω功率谱P()e有何关系？和整个随机信号的x功率谱jω有何关系？P()eX1.求极限：2Mjjωω1−jωnPexM()==limP(e)lim∑xM(n)eMM→∞→∞21M+nM=−2.求均值：Pejjωω=E{Pe

3、}Xx()()单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：21Mjjωω−nPeXM()=limE∑x(n)eM→∞21M+nM=−各态遍历信号也是如此。21MPe()jjωω=limE∑x(n)e−nXMM→∞21M+nM=−MM1=limEx∑∑(m)x(n)e−−jmω()nMMM→∞21M+nM=−mM=−MM1=−lim∑∑rm(n)e−−jmω()nxM→∞21M+nM=−m=−M双求和变MM2M∑∑gm()−=n

4、∑(2M+1−k)g(k)成单求和：nM=−m=−Mk=−2M证明了两个公2Mk式的等效。所jjω−ωkPeXx()=−lim∑(1)r(k)eM→∞kM=−221M+以，自相关函∞−jkω数是集总自相=∑rkx()ek=−∞关。功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；问题：如何用这单一样本的有限长数据去估计原随机信号真实的自相关函数和功率谱自身估计的需要11.2自相关函数估计功率谱估计的需要*rm()=+E{X(n)X(

5、nm)}近x集总自相关似N1*质rmx()=+lim∑x(n)x(nm)量N→∞21N+nN=−如时间自相关Nm−−11何rˆx()m=+∑xn()xn(m)Nn=0实际求出的自相关函数EstimationEstimateEstimator（估计子）自相关函数估计的质量：单个样本偏差Nm−−11rˆx()m=∑xn()xn(+m)Nn=01.偏差估计方法$bir[rm()]=E{rˆ(m)}−r(m)来自定义Nm−−11E{(rˆm)}=+E{∑xn()xn(m)}Nn=0Nm−−11=+∑Ex{}()(nxnm)Nn

6、=0Nm−所有样本=rm()N−m所以：bir[rmˆ()]=r(m)含义N(1)mN固定，→∞,bia[rˆ(m)]=0渐近无偏估计(2)Nm给定，<

7、方差var[rm()]=−E{[(rm)E{rˆ()m}]}$22=−Er{}()m[E{rˆ()m}]包含两项22N−m[]E{}rˆ(m)=r(m)前面结果NNm−−11Nm−−21E{}rˆ(m)=+E2∑∑xn()(xnm)x(k)(xk+m)Nnk==001=+2∑∑Ex{}()(nxk)(xnm)(xk+m)Nnk四阶统计量！由：Ex{()(nxk)(xn++m)(xkm)}22=rn(−+k)r(m)+r()n−k−mr()k−n−mNm−−1最后1mi+var[]rm

8、ˆ()=−∑1导出：NNiN=−(1−−m)2×+ri()r(i+m)r(i−m)有：Nr→∞,var[ˆ(m)]=0Nr→∞,bia[ˆ(m)]=0渐近一Nr→∞,var[ˆ(m)]=0致估计3.自相关函数的计算已知单个样本的N点数据x(0),x(1),?,x(N−1)估计rmˆ()x两个方法:（1）直接按定义：