《插值法与数值微分》PPT课件

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1、第二章插值法与数值微分§2.1线性插值和抛物插值§2.2拉格朗日插值多项式§2.3插值多项式的误差§2.4分段插值法§2.5三次样条插值§2.6数值微分§附牛顿型多项式插值引言实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应

2、有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0x1x2x3x4xg(x)f(x)本章学习插值法基本概念：1.设已知在n+1个点上的函数值分别为，求一个不超过n次的多项式，使－－插值条件称为插值多项式称为插值节点,称为插值区间。3.插值多项式的存在唯一性：★定理：2.几何意义：n次代数曲线代替§2.1线性插值和抛物插值一、线性插值：已知函数在结点上的函数值，要

3、求一个一次多项式使之满足，其几何意义就是通过A，B两点作一条直线近似代替曲线。图2－3线性插值几何意义优点：计算简单，以直线代替曲线。缺点：精度低，误差大。改进：多用一些点。由解析几何，我们立即可以得到的表达式这样的一般是的一次多项式，即一次函数。这种插值称为线性插值（或一次插值）。α0°15°20°45°60°75°β0.250.72.86.52060例2.1已知某多叶调节风阀。当叶片数为n=3时，叶片与气流方向呈各种角度α时。某局部阻力系数β值如下表表示：求当α等于30°时，多叶调节风阀的局部阻力系数β的线形插值。并将其代入线性插值公式，

4、有二、抛物插值（三点插值）已知,求二次多项式,满足插值条件。xy几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线这样的是的二次函数，其形式为：其中为待定常数。若将A，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而即可确定，但求起来比较麻烦。简便算法：抛物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得抛物插值公式。例2.2分别计算下列各题：1）利用100和121求平方根115；2）利用100，121和144求平方根115。解:用线形插值求解问题1）与所求平方根的实际值10.72387比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428。用抛物插

5、值求解问题2）与平方根实际值10.7238比较，10.72275551具有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。§2.2拉格朗日插值多项式对数据进行插值的方法有好几种，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、hermite插值法，我们主要介绍的是拉格朗日插值法。一、拉格朗日插值公式：1.问题提出：这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数在n+1个点上的函数值,求一个n次多项式，并满足条件）来讨论如何构造其插值多项式。2.插值基函数：我们只会求有2个3个节点的插值多项式，有更多的节点的插值多项式是怎样的呢，

6、如何求得呢，今天我们就来研究给出n+1个节点的插值多项式的形式。我们先观察线性插值多项式和抛物插值多项式。得出结论：3.拉格朗日插值公式：这就是所要求的插值多项式，称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。当n=1时，就得出线形插值多项式，n=2时，就得出抛物插值多项式。4.算法设计与流程图：（1）流程图：（2）算法功能：用Lagrange插值公式，对给定的n组数据进行插值计算。（3）算法简介：（4）程序：/*rtn=lagrange(x0,y0,n,x&y);*//*x0[]--Floatarray,storeX1,X2,...Xn*//

7、*f0[]--Floatarray,storeY1,Y2,...Yn*//*x--Floatvalue*//*&y--Pointofafloatvalue,returnwithf[x]*/intlagrange(x0,y0,n,x,y)floatx0[],y0[],x;intn;float*y;{inti,j;floatp;*y=0;if(n>1){for(i=0;i

8、;}}elsereturn(-1);}main(){floatx0[4]={0.46,0.47,0.48,0.49};floaty0[4]={0.484655,0.