向量组线性相关性判定

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1、-安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院（系）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日--学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　导师签名：　　　

2、　　　　　　　日期：　　　　　　　　院长签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　--论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：　　　　　　　　导师签名：　　　　　　　日期：--向量组线性相关性的判定方法（安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002）摘要：--向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性

3、的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.关键词：向量组线性相关线性无关判定方法1引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到维向量）定义：个有次序的数所组成的数组或分别称为维行向量或列向量.这个数称为向量的个分量,第个数称为第个分量

4、.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2.2向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为维向量空间（或线性空间）.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3.向量组线性相关性的定义3.1向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的

5、行向量)所组成的集合称为一个向量组.例如一个矩阵对应一个维列向量组,也对应一个维行向量组--3.2向量组的线性相关性的定义3.2.1线性组合与线性表示设是一向量组,表达式称为向量组的一个线性组合,其中是一组实数,称为这个线性组合的系数.如果向量是向量组的线性组合则称向量能由向量组线性表示.例如，任一维向量，都可以由维基向量线性表示.例1.设向量组试判断是否可由线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解设一组数使即有由向量相等的定义可得线性方程组该方程组的一个解为于是即由线性表示.定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相等,

6、即.3.2.2.向量组线性相关的定义定义1向量组线性相关Û在向量组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示.定义2给定向量组，个数构造如果存在不全为零的数使式成立，称向量组--是线性相关的,否则称它线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组中有某个向量(不妨设)能由其余个向量线性表示,即有使于是因为不全为0,所以向量组线性相关.反过来，如果向量组线性相关，则有其中不全为0,不妨设,于是即能由线性表示.例2判断向量组是否线性相关.解：可取为未知数，建立下列方程式看它是否有的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组前

7、面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故线性相关.特别的一组解，可取为即或定理2向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数;向量组线性无关的充分必要条件是这是因为,向量组线性相关即Ax=0--有非零解向量组线性无关例3证明维单位坐标向量组线性无关.证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数使得根据向量线性运算的定义可以得到从而所以是线性无关的.另证我们利用定理，设向量组构成的矩阵为是阶单位矩阵.显然有即等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组是线性无关的.

8、例4已知向量讨论向量组及向量组的线性相关性.解对矩阵施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵及的秩，再利用定理2就可以得出