向量组及其线性相关性

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1、邱启荣华北电力大学数理系QQIR@ncepu.edu.cn第四章向量组及其线性相关性第一节n维向量组及其线性组合一、维向量的概念二、向量组的线性组合定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　　　等表示，如：维向量的表示方法注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向

2、量时，都当作列向量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如向量组与矩阵向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１线性组合二、向量组的线性组合向量能由向量组线性表示．定理1例4.1.3设向量问：与中哪个可以由线性表示，哪个不能？前两列构成的矩阵的秩为2，前三列构成的矩阵的秩为3，因此不能用线性表示。一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此可以用线性表示.定义：设有两个向量组：（1）若B组中每一个向量都可以由向量组A线性表示，则称向

3、量组B可以由向量组A线性表示；（2）若向量组A与向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组A等价。定理（1）向量组B可以由向量组A线性表示的充分必要条件是。（2）向量组A与向量组A等价的充分必要条件是。向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？例4.1.5向量组A:证明向量可由线性表示，并求出表示式.例4.1.6向量组问(1)当为何值时，向量组A与B等价？(2)当为何值时，向量组A与B不等价？B中哪个向量不能用向量组A线性表示？并将可以用向量组A表示的向量表示出来。从而邱启荣华北电力大学数理系QQIR@ncepu.edu.cn第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线

4、性相关性一、向量组的线性相关与线性无关二、线性相关性的判定注意定义1则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．一、向量组的线性相关与线性无关例4.2.2设向量组线性无关，且证明线性无关．证定理二、线性相关性的判定例4.2.2设向量组线性无关，且证明线性无关．证法2由于因此可逆，从而故线性无关．解例分析例4.2.3当满足什么条件时，向量组线性相关？定理　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使

5、因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用例判别如下方程组的线性相关性解：由于，因此方程组的线性无关的。定理证明说明说明1.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答邱启荣华北电力大学数理系QQIR@ncepu.edu.cn第三节向量组的秩一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组定理１二、矩阵秩与向量组秩

6、的关系结论说明事实上定理２三、向量组秩的重要结论推论1推论2思考证一证二注意例4.3.4设4维向量组问(1)为何值时，线性相关？(2)当线性相关时，求其一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．例4.3.5已知向量组A与向量组B如果向量组A与向量组B秩相等，且可以由线性表示，求。１．最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．

7、四、小结邱启荣华北电力大学数理系QQIR@ncepu.edu.cn第四节线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、基础解系及其求法三、非齐次线性方程组解的结构１．解向量的概念设有齐次线性方程组（1）一、齐次线性方程组解的结构则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则若记称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空

8、间．证毕.