2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(六十一)古典概型与几何概型(含解析)

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1、课时跟踪检测(六十一)古典概型与几何概型1.(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中,任选2人参加讲课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为(  )A.          B.C.D.解析:选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛,基本事件总数为10,选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6,故选取的2人恰为一男一女的概率为P===.故选B.2.(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个

2、项目参加比赛,则这三个项目都有人参加的概率为(  )A.B.C.D.解析:选B 基本事件总数n=34=81,这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=CA=36,故这三个项目都有人参加的概率为P===.3.(2019·广东五校联考)从1~9这9个自然数中任取7个不同的数,则这7个数的平均数是5的概率为(  )A.B.C.D.解析:选C 从1~9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C=36种,从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选3组,有C=4种选法,故这7个数的平均数是5的概率为=,选C.4.(2019·成都外国语

3、学校月考)《九章算术》中有如下问题:今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其大意:已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步.现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是(  )A.B.C.1-D.1-解析:选D 直角三角形的斜边长为=17,设内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3.∴内切圆的面积为πr2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-=1-.5.(2019·长春质检)如图,扇形AOB的圆心角为120°,点P在弦AB上,且AP=AB,延长OP交弧AB于点C,现向

4、扇形AOB内投一点,则该点落在扇形AOC内的概率为(  )A.B.C.D.解析:选A 设OA=3,则AB=3,AP=,由余弦定理可求得OP=,则∠AOP=30°,所以扇形AOC的面积为,又扇形AOB的面积为3π,从而所求概率为=.6.在如图所示的圆形图案中有12片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为,若在圆内随机取一点,则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(  )A.2-B.4-C.4-D.4解析:选B 设圆的半径为r,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24×=4πr2-6r2,圆的面积S′=πr2,所以此点

5、取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4-,故选B.7.已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为(  )A.B.C.D.解析:选D f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数f(x)有两个极值点,则有Δ=(2a)2-4b2>0,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.满足a

6、2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为=.8.(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是(  )A.-πB.1-πC.D.解析:选B 如图,正△ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,为半径,在△ABC内部画圆弧,得到三个扇形,则点P在这三个扇形外,因此所求概率为=1-π,故选B.9.(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数

7、为“凸数”(如243),现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为(  )A.B.C.D.解析:选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342,共8个结果,所以这个三位数是“凸数”的概率

8、为=,故选B.10.(2018·全国卷Ⅰ)如图,来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记

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