常用数值分析方法§3插值法与曲线拟合

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1、§3插值法与曲线拟合3.1实验数据统计处理3.2插值法（Lagrange插值法）3.3曲线拟合（最小二乘法）平行试验数据处理，误差分析。根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数据规律，求函数表达式。3.1实验数据统计处理系统误差偶然误差过失误差图6.1平行试验数据的正态分布图-3σ-2σ-σ0σ2σ3σ经常性的原因影响比较恒定校正偶然因素正态分布规律统计分析操作、计算失误错误数据剔出3.1.1误差3.1.2数据的统计分析（4）剔出错误数据（5）用标准形式表示统计处理结果（1）算术平均值（2）标准偏

2、差（3）平均标准偏差返回（1）重算值法Q?可疑数据?可疑数据数据排序（升）：x1，x2，…，xn；最大与最小数据之差；可疑数据与其最邻近数据之间的差求Q值：查Q值表得出标准值Q0.90；可疑值判断Q≥Q0.90错误数据剔出Q

3、一些数据，这些数据只是某些离散点xi上的值（包括函数值f(xi)，导数值f(xi)等,i=1,2,…,n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。3.2插值法（Interpolation）3.2.1概述另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分中，当f(x)很复杂，要计算

4、积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点(xi,f(xi))(i=1,2,…,n)，选定一个便于计算的函数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求(x)通过点(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n),由此确定函数(x)作为f(x)的近似。这就是插值法。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏

5、差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一节介绍。x1x2x3x4x5xg(x)f(x)多项式f(x)已知：一系列离散的（互不相同的）点xi，yi（i=1，2，…n）求：给定点x对应的函数值y或近似函数表达式。思路问题构造函数y=p(x)要求：插值函数代数多项式：算法拉格朗日（Lagrange）法两点插值（线性插值）一元三点插值（抛物线插值）一元多点插值（插值公式的一般形式）分段插值已知点满足该函数其他：牛顿（Newton）插值法、Hermite插值法、样条函数插值法等。归纳一下：3.2.2线性插值y=p(x)y=f(x)(x1,

6、y1)(x2,y2)图6.2线性插值示意图yx已知：两点(x1,y1）、(x2,y2）求：两点间任意x对应的y值。插值函数：y=p1(x)近似直线实际曲线理论函数：y=f(x)直线方程：（变形）插值基函数（插值多项式）A1(x)A2(x)特点：A1(x1)=1，A1(x2)=0A2(x1)=0，A2(x2)=13.2.3抛物线插值已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）求：其间任意x对应的y值y=f(x)y=p2(x)(x1,y1)(x3,y3)图6.3抛物线插值示意图yx(x2,y2)插值函数：y=p2(x)近似抛物线实

7、际曲线理论函数：y=f(x)插值基函数：插值多项式3.2.4Lagrange插值的一般形式已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn）求：其间任意x对应的y值（1）构造插值基函数（2）插值多项式3.2.5分段插值（分段抛物线插值）各区段函数规律明显不同适用条件处理方法插值公式分段基点分段插值基函数3.3曲线拟合插值法的不足解决办法曲线拟合对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。基本思想问题：在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数P(x)

8、，是在实践中常遇到的。（1）插值方法要求在给定的节点处P(x)与f(x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时效果会很差。（2）另