精品解析：2019年广东省中考数学一模试卷（解析版）

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2019年广东省中考数学一模试卷一．选择题1.16的算术平方根为（　　）A.±4B.4C.﹣4D.8【答案】B【解析】16的算术平方根为4．故选：B．2.2018年广东省经济保持平稳健康发展，经国家统计局核定，实现地区生产总值(GDP）9730000000000元，将数据9730000000000用月科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】9730000000000=，故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．4.计算正确的是（）A.（﹣5）0=0B.x3+x4=x7C.（﹣a2b3）2=﹣a4b6D.2a2•a﹣1=2a【答案】D【解析】解：A．原式=1，故A错误；B．x3与x4不是同类项，不能进行合并，故B错误；C．原式=a4b6，故C错误；D．正确．故选D．5.若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为()A.6B.7C.8D.10【答案】C【解析】【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】根据n边形的内角和公式，得（n-2）•180=1080， 解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．6.在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率．【详解】∵袋中装有6个红球，2个绿球，∴共有8个球，∴摸到红球的概率为.故选D．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.D.【答案】D【解析】【详解】 试题分析：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．解：由题意得∠DAE=∠CAB，A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；故选D．考点：相似三角形的判定．8.下列一元二次方程中，没有实数根的是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据根的判别式<0，直接将各方程系数代入公式计算并比较计算结果与0的大小即可得答案.【详解】A.中，=4>0，故方程有两个不相等的实数根，B.中，=42-4×（-1）=20>0，故方程有两个不相等的实数根，C.中，=(-4)2-4×2×3=-8<0，故方程没有实数根，D.中，=(-5)2-4×3×2=1>0，故方程有两个不相等的实数根，故选C.【点睛】此题考查了一元二次方程根判别式，当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根.9.等腰三角形的周长为11cm，一边长为3cm，则另两边长为（）A.3cm,5cmB.4cm,4cmC.3cm,5cm或4cm,4cmD.以上都不对【答案】C【解析】分两种情况：①3cm为腰长时，另两边长为3cm，5cm；②3cm为底边长时，另两边长为4cm，4cm；故选 C．10.如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，若函数y=（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（　　）A.5≤k≤20B.8≤k≤20C.5≤k≤8D.9≤k≤20【答案】A【解析】若反比例函数与三角形交于A(4，5)，则k=20；若反比例函数与三角形交于C(4，2)，则k=8；若反比例函数与三角形交于B(1，5)，则k=5.故.故选A.二．填空题11.一组数据﹣3、2、2、0、2、1的众数是_____．【答案】2．【解析】【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【详解】这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据． 12.不等式2+3≥x+1，的解集是_____【答案】x≤4．【解析】【分析】移项，合并同类项，系数化1即可．【详解】2+3≥x+1，﹣x≥1﹣2﹣3，﹣x≥﹣4，∴x≤4，故答案为x≤4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．13.因式分解：a2﹣9b2＝_____．【答案】（a﹣3b）（a+3b）．【解析】【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．【详解】原式＝（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：（a﹣3b）（a+3b）．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．14.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝120°，则∠BCD=_____.【答案】120°；【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠A=∠BOD=60°，再根据圆内接四边形的对角互补，得∠BCD=180°-∠A=120°．【详解】∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°， ∴∠BCD=180°-∠A=120°．故选：A．【点睛】本题综合考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及圆内接四边形对角互补的知识．15.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上点P处，则FP=．【答案】．【解析】试题分析：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===；故答案为：．考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．16.如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为__． 【答案】3：2．【解析】【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的性质得到S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接AC、BD，∵点O是▱ABCD的对称中心，∴AC、BD交于点O，∴S△AOB＝S△BOC，∵AB＝2EF，∴S△EOF＝S△AOB，∵BC＝3GH，∴S△GOH＝S△BOC，∴S△EOF：S△GOH＝3：2，故答案为：3：2．【点睛】本题考查的是中心对称的性质、平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题17.计算：．【答案】【解析】 【分析】根据绝对值的性质，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值即可求出答案．【详解】原式=+1-2×+=【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18.先化简，再求代数式的值，其中.【答案】.【解析】【分析】利用分式通分，再根据分式的乘除运算进行化简，然后代入a的值即可求解.【详解】解：【点睛】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.19.某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元；若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，则共需185元A，B两种跳绳的单价各是多少？【答案】A种跳绳的单价为22元/根，B种跳绳的单价为25元/根．【解析】【分析】设A种跳绳的单价为x元/根，B种跳绳的单价为y元/根，根据“购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，共需395元；购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】设A种跳绳的单价为x元/根，B种跳绳的单价为y元/根，依题意，得：，解得：． 答：A种跳绳的单价为22元/根，B种跳绳的单价为25元/根．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、解答题20.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC．（1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后连接EF．（2）若线段BD的长为6，求线段EF的长．【答案】（1）所作图形见解析；（2）EF＝3.【解析】【分析】（1）用圆规在角的两边上分别截取相等的线段，以交点为圆心，大于两交点之间的距离的一半为半径画弧交于一点，连接顶点及交点即可得到角的平分线．（2）连接CE，根据三角形中位线定理及角平分线的性质可以判定EF是三角形的中位线，从而求出中位线的长．【详解】（1）所作图形如下：（2）∵CF平分∠ACB∴∠ACF＝∠BCF又∵DC＝AC∴CF是△ACD的中线 ∴点F是AD的中点∵点E是AB的垂直平分线与AB的交点∴点E是AB的中点∴EF是△ABD中位线∴EF＝BD＝3【点睛】本题考查了三角形的中位线的定理及尺规作图的应用，解题的关键是正确的判定中位线．21.中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）求n的值；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．【答案】（1）100人；（2）补图见解析；（3）500人.【解析】【分析】（1）由读完3部的人数除以占的百分比求出n的值即可；（2）求出读完2部的人数，补全条形统计图即可；（3）求出读完4部的百分比，乘以2000即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：30÷30%=100（人），则n的值为100；（2）四大古典名著读完了2部的人数为100﹣（5+15+30+25）=25（人），补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：25%×2000=500（人），则该校四大古典名著均已读完的人数为500人．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，读懂统计图，从中找到必要的解题信息是解题的关键．22.如图，九年级学生在一次社会实践活动中参观了具有深厚文化底蕴的观音山后感概万千，这座观音多高呢？为了测量这座观音像的高度AB，数学兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CE，测得塔顶A角为42°，再向观音像方向前进12米，又测得观音像的顶端A的仰角为61°，求这座观音像的高度AB．（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tn61°≈1.80，结果保留整数）【答案】这座观音像的高度AB是23m．【解析】【分析】根据题意得到BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，设AH＝x，解直角三角形即可得到即可．【详解】如图，记EF的延长线交CD于H，根据题意得：BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，设AH＝x， 在Rt△AEH中，∠AEH＝42°，AH═x，∴EH＝＝，在Rt△AFH中，∠AFH＝61°，AH＝x，∴FH＝＝，∵EF＝EH﹣FH＝＝12，∴x＝21.6，∴AB＝1.5+21.6≈23m，答：这座观音像的高度AB是23m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB＝BM＝40，属于中考常考题型．23.在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．【答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．【解析】试题分析：（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得； （3）分情况讨论即可得.试题分析：（1）由已知得A(-4，0)，C(0，2)，把A、C两点的坐标代入得，，∴，∴；（2）过点E作EH⊥AB于点H，由上可知B（1，0），∵，∴，∴，∴∴，∵∴；（3）∵DF⊥AC，∴，①若，则CD//AO，∴点D的纵坐标为2，把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），∴D(-3，2)；②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，∵，∴，∴，∴，设Q(m，0)，则，∴，∴， 易证：∽，∴，设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，∴.24.已知AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在弧BC上，BD、AC的延长线交于点K，连接CD．（1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝45°；（2）如图2，若DC＝DB时，求证：BC＝2CK；（3）在（2）的条件下，连接BC交AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长CF交AB于点G，连接GE，若GE＝5，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CD＝6．【解析】【分析】（1）连接AD，先证△ABC是等腰直角三角形得∠CAB＝∠CBA＝45°，设∠CBK＝∠DAC＝α，则∠DAB＝∠DCB＝45°−α，∠K＝90°−α，据此可得；（2）过点C作CH⊥AD，先证△EBD≌△EHC可得CE＝BE＝BC，再证△ACE≌△BCK得CK＝CE，从而得证；（3）证CG∥BD知∠GCB＝∠CBD＝∠CAD，由CE＝BE＝BC＝AC知tan∠GCB＝tan∠CAD＝，据此设GH＝BH＝a，则CH＝2a、BC＝3a、BE＝a、EH＝a，在Rt△EGH中利用勾股定理可得a的值，即可知CE＝3，再根据tan∠GCB＝，可设EF＝x、CF＝2x，在Rt△CEF中利用勾股定理求得x的值即可得出答案． 详解】（1）如图1，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵点C是的中点，∴AC＝BC，则△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，设∠CBK＝∠DAC＝α，则∠DAB＝∠DCB＝45°﹣α，∠K＝90°﹣α，∴∠AKB﹣∠BCD＝45°；（2）如图1，过点C作CH⊥AD，∵∠CDH＝∠CBA＝45°，∴CD＝CH，∵CD＝DB，∴CH＝DB，∵∠CEH＝∠BED、∠CHE＝∠BDE＝90°，∴△EBD≌△EHC（AAS），∴CE＝BE＝BC，∵∠CAE＝∠CBK、∠ACE＝∠BCK、AC＝BC，∴△ACE≌△BCK（ASA），∴CK＝CE＝BE＝BC，即BC＝2CK；（3）如图2，过点G作GH⊥BC于点H，则∠GHC＝90°， ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵CG⊥AD于点F，∴∠CFE＝∠ADB＝90°，∴CG∥BD，∴∠GCB＝∠CBD＝∠CAD，∵∠ACE＝90°，CE＝BE＝BC＝AC，∴tan∠GCB＝tan∠CAD＝，∴，∵∠ABC＝45°，∠GHB＝90°，∴GH＝BH，设GH＝BH＝a，则CH＝2a、BC＝3a，∴BE＝a，EH＝a，在Rt△EGH中，(a）2+a2＝52，解得：a＝2（负值舍去），∴CE＝3，∵tan∠GCB＝，∴，设EF＝x、CF＝2x，∴x2+（2x）2＝（3）2，解得：x＝3（负值舍去）， ∴CF＝6，∵∠CDA＝∠CBA＝45°，∴CD＝6．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点．25.已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AP=10﹣2t；（2）S=t2﹣12t+78；（3）当t=s时，PQ⊥BD；（4）存在．当t=s时，点E在∠ABD的平分线．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S△PQB+S△BCP，计算即可；（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，推出tan∠QPN==，由此构建方程即可解解题问题；（4）存在．连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出 KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得=，由此构建方程即可解决问题.【详解】（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，∴CD=BH=8，DH=BC=6，∴AH=AB﹣BH=8，AD==10，BD==10，由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，∴PN=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]=t2﹣12t+78（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠QPN=∠DBA，∴tan∠QPN==，∴=，解得t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，PQ⊥BD．（4）存在．理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2， 解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，∵KH∥EF，∴=，∴=，解得：t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．【点睛】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题.