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1、第一章数理逻辑MathematicsLogic1.6~1.8谓词逻辑PredicateLogic问题的提出：(命题逻辑的局限性)例：苏格拉底论断前提“所有的人总是要死的”“苏格拉底是人”结论“所以苏格拉底是要死的”命题逻辑中原子命题不可再分PQRP∧QR不是有效推理例Ｐ1：小张是大学生Ｐ2：小李是大学生Q1：2大于3Q2：6大于4命题逻辑无法反映不同原子命题间的内在共性解决问题的方法分析原子命题，分离其主语和谓语考虑一般和个别，全称和存在1.6谓词和量词1.6.1谓词谓词的概念和表示在原子命题中，用来刻划一个个
2、体的性质或个体之间关系的成分称为谓词，刻划一个个体性质的词称为一元谓词；刻划n个个体之间关系的词称为n元谓词常用大写英文字母表示个体能够独立存在的事物通常用小写英文字母a、b、c、...表示个体常量用小写英文字母x、y、z...表示任何个体，则称这些字母为个体变元例1(a)5是质数(b)张明生于北京(c)7=3×2F(x)：x是质数G(x,y)：x生于y，a：张明，b：北京H(x,y,z)：x=y×zF(5)G(a,b)H(7,3,2)谓词个体词谓词命名式(谓词填式)变元的次序很重要谓词常元一个字母代表一特定谓词
3、,例如F代表“是质数”,则称此字母为谓词常元谓词变元若字母代表任意谓词,则称此字母为谓词变元论域个体域谓词命名式中个体变元的取值范围空集不能作为论域命题函数谓词命名式不是命题若谓词是常元个体词是常元谓词命名式才成为一个命题谓词函数由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数n=0时命题变元例A(x)：x身体好B(x)：x学习好C(x)：x工作好如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好复合命题函数
4、A(x)→(B(x)∧C(x))1.6.2量词例“所有的正整数都是素数”“有些正整数是素数”假设只有两个正整数a和b个体域为{a,b}P(x)：x是素数P(a)∧P(b)P(a)∨P(b)全称量词记作表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等x读作“任意x”，“所有x”，“对一切x”量词后边的个体变元，指明对哪个个体变元量化，称为量词后的指导变元例所有人都是要死的D(x)：x是要死的个体域：所有人构成的集合xD(x)存在量词记作表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个
5、”等x读作“存在x”，“对某些x”或“至少有一x”指导变元例有些有理数是整数Ｉ(x)：x是整数个体域：有理数集合xＩ(x)全总个体域（全总域）含有量词的命题的真值与论域有关含有量词的命题的表达式的形式与论域有关全总个体域宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合约定除特殊说明外，均使用全总个体域对个体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制例所有的人都是要死的有的人活百岁以上D(x)：x是要死的G(x)：x活百岁以上个体域E为全体人组成的集合xD(x)xG(x)全总个体域引入特性谓词M(x)：x是人x(M(x
6、)D(x))x(M(x)∧G(x))特性谓词添加规则对全称量词,特性谓词作为条件式之前件加入对存在量词,特性谓词作为合取项而加入例(a)没有不犯错误的人F(x)：x犯错误M(x)：x是人¬x(M(x)∧¬F(x))(b)凡是实数,不是大于零就是等于零或小于零R(x)：x是实数L(x,y)：x＞yE(x,y)：x=yS(x,y)：x＜yx(R(x)L(x,0)∨E(x,0)∨S(x,0))1.6.3量化断言和命题的关系假设论域有限,不妨设论域D={1,2,3}xP(x)？xP(x)P(1)∧P(2
7、)∧P(3)xP(x)？xP(x)P(1)∨P(2)∨P(3)若论域无限可数，概念可以推广1.6.4谓词公式个体函数（函词）例小王比他的父亲高T(x，y)：x比y高a：小王b：小王的父亲T(a，b)无法显示个体之间的依赖关系定义函数f(x)=x的父亲T(a，f(a))函词与谓词的区别函词中的个体变元用个体带入后的结果依然是个体f(a)=小王的父亲谓词中的个体变元用确定的个体带入后就变成了命题M(x)：x是人M(a)：小王是人函词是论域到论域的映射f:D→D谓词是从论域到{T,F}的映射M:D→{T,F}项
8、和原子公式项(item)表示个体定义个体常量是项个体变元是项如果f是一个n(n≥1)元函词，其t1,t2,…,tn都是项，则f(t1,t2,…,tn)是项例a,b,cx,y,zf(x),g(a,f(y))原子公式(atom)定义若P是一个n元谓词，且t1,t2,…,tn是项，则P(t1,t2,…,tn)是原子命题词也是原子(n=0)例P,Q(x),A(x,f(x)),B(
