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《概率论与数理统计第59章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第5章大数定律和中心极限定理习题A21．设X为随机变量，EX=μ，DX=σ，试估计PX{−<μ3σ}．解:由切比雪夫不等式,有DX18PX{}−<μσ31≥−2=−=1.(3)σ992．某路灯管理所有20000只路灯，夜晚每盏路灯开的概率为0.6，设路灯开关是相互独立的，试用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的路灯数在11000-13000盏之间的概率．解:记X为晚上开着的路灯数，则XB~(20000,0.6)，因此EX=×200000.612000=DX=×200000.6(10.6)×−=4800由切比雪夫不等式有48000PX{}11000<<13000=P{}X−12000<
2、1000≥−1=0.9952.210003．在n重伯努利试验中，若已知每次试验中事件A出现的概率为0.75，请利用切贝雪夫不等式估计n，使A出现的概率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90.解:假设⎧1,A出现X=⎨,in=1,2,",i⎩0,A不出现nX=∑Xi,则EXn=p,DX=npq,其中p=0.75,所以i=1npqPXnp{}−<0.01n>−12≥0.9(0.01)n解得n≥18750.4．某批产品合格率为0．6，任取10000件，其中恰有合格品在5980件到6020件之间的概率是多少？解:假设X表示任取10000件产品中,合格品的数量,则574XB~(10,
3、0.6)即EX==6000,DX2400,X−6000根据中心极限定理,近似服从标准正态分布N(0,1),则2400⎧X−600020⎫PX{}5980<<6020=P{}X−6000<=20P⎨<⎬⎩⎭24002400⎛⎞20≈Φ2⎜⎟−=10.3182⎝⎠24005．某保险公司有3000个同一年龄段的人参加人寿保险，在一年中这些人的死亡率为0.1%．参加保险的人在一年的开始交付保险费100元，死亡时家属可从保险公司领取10000元．求：(1)保险公司一年获利不少于240000元的概率；(2)保险公司亏本的概率．解:假设X表示一年内死亡的人数,则XB~(3000,0.001)X
4、−3且EX==3,DX2.997,并根据中心极限定理,近似服从标准正态分2.997布N(0,1),则(1)保险公司一年内获利不少于240000元的概率为:545⎛⎞3PXP{}310×−×>×=<=102.410{}X6Φ⎜⎟≈0.958.⎝⎠2.997(2)保险公司亏本的概率为:54⎛⎞27PX{}31010×−×<=>=−0P{}X301Φ⎜⎟≈0.⎝⎠2.9976．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)−上服从均匀分布，(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总
5、和的绝对值小于10的概率不小于0．90？58解:假设X表示每次计算时,所得到的误差,则iXU~(0.5,0.5)−,i=1,2,",1500,i15001500X=∑Xi表示1500个数相加,所得到误差总和,EX===0,DX125,根i=112据中心极限定理,X/125近似服从标准正态分布,⎛⎞15(1)PX{}>=151−−<<≈−P{}15X1522Φ⎜⎟=−2(10.9099)=0.1802⎝⎠25(2)假设最多可有n个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90:n⎧⎫⎧⎫nn⎪∑Xi⎪⎧⎫⎪−1010⎪i=1PX⎨⎬∑i<>⇒100.90PXP⎨⎬−<10∑
6、i<=10⎨<<⎬⎩⎭i=1⎩⎭i=1⎪nnn/12/12/12⎪⎪⎩⎭⎪⎛⎞10=Φ21⎜⎟−>0.9⎝⎠n/12解得n=443.7．对敌人的防御地带进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个均值为2，方差为1.69的随机变量．求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率．⎧1,第次击中目标i解:假设X=⎨,i=1,2,",100i⎩0,第次没有击中目标i100X=∑Xi表示100次轰炸中,击中目标的总次数,则EX=200,DX=169,根i=1X−200据中心极限定理,近似服从正态分布,则有169⎧⎫−−20X20020PX{}180<<220=P⎨⎬<<⎩
7、⎭169169169⎛⎞20=Φ2⎜⎟−=×120.938210.8764−=⎝⎠13598．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率．⎧1,第根木柱短语米i3解:X=⎨,i=1,2,",100i⎩0,第根木柱长于米i3100X=∑Xi表示100根木柱中,短于3米的数目,则i=1XB~(100,0.2),EX==20,DX16,⎧⎫X−2010PX{}>=30P⎨⎬>=1−Φ=(2.5)10.99379−
