直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系

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【本讲教育信息】一.教学内容：直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系 二.教学要求1.理解直线和圆的三种位置关系，了解切线的概念，掌握圆的切线性质与判定，以及作三角形内切圆的方法．2.理解圆和圆的位置关系，以及圆心距与圆的半径之间的关系，并能解决实际问题． 三.重点及难点重点：1.理解直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系，圆的切线的性质、判定及其应用．2.圆与圆的位置关系．难点：1.三角形内切圆的作法及三角形内心的性质．2.圆心距与半径的关系，如何作辅助线帮助解决问题． 四.课堂教学［知识要点］知识点1、直线和圆的位置关系的定义及其有关概念．直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离．（1）直线和圆有两个交点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的交点叫做切点．（3）当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点2、直线和圆的位置关系的性质和判定．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：（1）直线l和⊙O相交dr 知识点3、切线的性质定理定理：圆的切线垂直于过切点的直径．如图所示，已知直线CD与⊙O相切于点A，AB为直径，切线的性质定理的题设和结论如下表： 性质定理 题设结论直线CD与⊙O相切于点A，AB为⊙O的直径．AB⊥CD本定理也可以这样理解，如果一条直线既过圆心又过切点，那么这条直线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线m经过点O和点A，则直线m⊥l. 知识点4、切线的判定1）切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．切线的判定定理的题设是：一条直线l满足两个条件：①经过直径AB的一个端点A，②垂直于这条直径AB，结论是：这条直线l是圆的切线．注意：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆的切线，千万不能只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线．如图所示的直线l都不是⊙O的切线．2）切线的判定方法．（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．说明：判定切线的三种方法中，常用的是后两种方法，用后两种方法判定切线时，往往需要添加辅助线．3）添加辅助线的规律（1）如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：连半径，证垂直．（2）如果已知条件中不知道与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记为：作垂直，证半径． 知识点5、三角形的内切圆、三角形的内心的概念 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心．如图所示，⊙I为△ABC的内切圆，I为△ABC的内心．说明：（1）由三角形内切圆的作法可知，任意三角形都有且只有一个内切圆（因为圆心是唯一确定的，半径是一个定长）（2）三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，平分三角形的内角． 知识点6、三角形内切圆的作法已知：△ABC求作：△ABC的内切圆．分析：作圆的关键是确定圆心，因为三角形的内切圆与三边都相切，所以圆心（三角形的内心）到三边的距离相等，因此△ABC的内切圆的圆心既要在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上，显然这两条角平分线的交点到三边的距离相等，是三角形的内心．作法：（1）作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I（2）过I作ID⊥BC，垂足为D.（3）以Ｉ为圆心，以ID为半径作⊙Ｉ．则⊙I就是所求作的圆． 知识点7、三角形的内心与外心的区别．名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆圆心）三角形三条边的垂直平分线的交点（1）      到△ABC三顶点的距离相等，即OA=OB=OC，（2）      不一定在△ABC内部内心（三角形内接圆圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到△ABC三边的距离相等，即OD=OE=OF，（2）AO，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB（3）一定在三角形内部．  知识点8、圆和圆的位置关系同一平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系．（1）两圆外离（2）两圆外切（3）两圆相交（4）两圆内切 （5）两圆内含注意：（1）两圆的五种位置关系还可以进一步概括为：（2）两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．  知识点9、两圆相切的性质如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点．例如，如图所示，已知⊙O1与⊙O2相切（包括内切与外切）于点T，求证切点T一定在连心线上．证明：假设切点T不在上，因为连心线是由⊙O1与⊙O2组成的图形的对称轴，所以点T关于的对称点也不在上，并且也是⊙O1与⊙O2的公共点，即⊙O1与⊙O2有两个公共点T，这与已知⊙O1与⊙O2相切（只有唯一公共点）矛盾．所以⊙O1与⊙O2相切时，切点T在连心线上．证明：（1）要正确区分连心线和圆心距，连心线是指通过不同心的两个圆圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度，显然两个圆圆心的连线一定在连心线上．（2）“相切两圆的连心线经过切点”也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”或“经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心”．（3）两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时，要注意连心线是直线而不是线段，有时也用圆心距．又如：如图所示，⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1，⊙O2于点A，B，已知⊙O1与⊙O2的面积比是3：1，则AP：BP等于（     ） A.3：1      B.6：1       C.9：1       D.：1分析：已知⊙O1，⊙O2外切于点P，连接，则必过切点P，连接，则∽△BP，所以，又因为⊙O1与⊙O2的面积比是3：1，即答案：D 知识点10、两圆相切与两圆的半径、圆心距之间的数量关系设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则（1）两圆外切d=R+r（2）两圆内切d=R－r说明：（1）上述式子从左到右是两圆位置关系的性质，从右到左是两圆位置关系的判定．（2）两圆相切有两种情况：外切和内切．（3）两圆外离、相交、内含与两圆的半径、圆心距之间的数量关系如下：①两圆外离d>R+r②两圆相交R－rr，⊙C与AB相离．当r=2.4cm时，CD=r，⊙C与AB相切．当r>2.4cm时，CD