求解孪生素数的方法

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1、求解孪生素数的方法务川自治县实验学校王若仲（王洪）贵州564300摘要：对于自然数中的素数而言，确实没有通项表达式，对于自然数中的孪生素数而言，更是没有通项表达式，但是我们可以通过一定的表达式求出一定范围内的所有孪生素数；还可以通过一定的表达式判别设定的两个奇数是不是孪生素数。关键词：奇合数；奇素数；孪生素数。我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。如果两个奇素数相差2，则称这两个奇素数为孪生素数。定义1：我们把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。定理1：对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜

2、j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间[√M，M]中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除。证明：设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积，我们在具体分析如下：（1）、当M=bc，b≥3，c≥3，如果b=c，b和c均为素数，那么M=b2=c2；则素数b不大于√M；（2）、当M=bc，b≥3，c≥3，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于√M；（3）、当M=bc，b≥3，c≥3，如果b＞c，b和c均为奇合数，那

3、么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于√M；（4）、当M=bc，b≥3，c≥3，如果b＞c，b和c均为奇素数，那么奇素数c小于√M；（5）、设奇数a为区间[√M，M）中的一个9第9页共9页奇合数，令奇合数a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b=c，b和c均为素数，那么奇素数b小于√M奇素数；（6）、设奇数a为区间[√M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数因子p小于√M；（7）、设奇数a为区间[√M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，b≥3，c≥3，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为

4、奇素数一个为奇合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为奇素数，则小的一个奇素数小于√M；（8）、设奇数a为区间[√M，M）中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为奇素数和一个为奇合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设大的一个奇数为奇素数，那么小的一个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为c，则奇合数c总可以分解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必小于√M。综上所述，定理1成立。例1：求证奇合数371能否被3或5或7或11或13或17或19整除。解：因为371＜400，所以√371＜√400；√400=20，由定理1

5、可知，奇合数371能被3或5或7或11或13或17或19整除。371÷3=123×3+2，371÷5=74×5+1，371÷7=53×7。定理2：对于任一奇数M（M≥9），设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…9第9页共9页，t），若奇数M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除，则奇数M为奇素数。证明：对于任一奇数M（M≥9），设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），假若奇数M是奇

6、合数，并且奇数M均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除，这与定理1的情形产生矛盾，故定理2成立。例2：判别奇数391是奇素数还是奇合数。解：因为√397＜√400，√400=20，由定理1可知，奇数391能否被集合{3，5，7，11，13，17，19}中某个奇素数整除，可以判别奇数397是奇素数还是奇合数；397÷3=132×3+1，397÷5=79×5+2，397÷7=56×7+5，397÷11=36×11+1，397÷13=30×13+7，397÷17=23×17+6，397÷17=20×19+17，故奇数397

7、是奇素数。定理3：设奇素数p1，p2，p3，…，pt为从3开始的连续的奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），对于偶数2m,偶数2m不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，pt；设pt+1为大于奇素数pt的所有奇素数中最小的奇素数。（1）若2m＞p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt，并且2m-p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt＜pt+12，（2m-2）均不能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中的任一奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除，奇数（2m-2-p1k1·p2k2·p3k3·…·ptkt）＞1，（2m-p1k