代数与几何综合

《代数与几何综合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、代数与几何综合专题代数、几何综合题是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样.代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了运用数学思想方法分析与解决问题的能力.例1.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图1-1.Q图1-1如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条

2、两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．分析：将图④中的纸条分别沿PM、PQ折叠，把折好的纸条打开，则得到如图1-2所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）.我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽的2倍，PM′等于5倍的纸条宽，从而可列方程求解.APMBM′图1-2解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点P，则必须满足，∴，解得；11（2）∵图④是轴对称图形，由纸条两端超出点的长度相等，也即，折叠时起点与点的距离为，而，∴.点M与点A的距离是（）cm.点评：本

3、题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性.既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力.例2.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．（1）写出A、C两点的坐标；

4、（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：11，据此列方程求出m的值．解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1

5、；x=0，得y=2，∴A（﹣1，0），C（0，2）；（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）；直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=，∴D（，m），设直线DP的解析式为y=kx+b，则有，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2．令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，∴，即，整理得：（m﹣1）2=，解得：m=（＞

6、1，不合题意，舍去）或m=，∴m=．（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE．依题意画出图形，如答图2所示．由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=（m﹣1）；∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=．∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，∴；11又∵CD•AQ=PQ•DE，∴，∴，即，解得：m=．∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=．∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=，使CD•

7、AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在．点评：本题涉及坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理理解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化，这样可以简化计算．自主检测一．填空题1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数11的图象与x轴交于A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC=AB，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k值为____________.2.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm。动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速

8、度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过__________秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？3.如图，直线AB交双曲线于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的