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《常微分方程的求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1引言§2Euler方法§3Runge－Kutta方法8—1常微分方程数值解法§4单步法的收敛性与稳定性§5线性多步法§6方程组与高阶方程的情况§7边值问题的数值解法12§1引言微分方程的应用情况微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含实际中，很多问题的数学模型都是微分方程.有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的理论研究与工程实际上应用很广泛.很多问题阶数.的数学模型都可以归结为常微分方程.很多偏微分方程问题，也可以化
2、为常微分方程问题来例如：y''(x)−a(x)y'+b(x)y+c(x)=0近似求解.34同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解对于一个常微分方程：例如dyyf'(==x,y),x∈[a,b]dxdy=cos()x⇒=yxsin()+∀∈a,aRdx为了使解存在，一般要对函数f施加限制条件，为了使解唯一，需要加入一个限定条件.通常会例如要求f对y满足Lipschitz条件：在端点出给出，如下面的初值问题：f(,)xy−≤fxy(,)Lyy−1212⎧dy⎪=∈f(,),xyxab[,]⎨dx⎪ya()
3、=y⎩056常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算.一般考虑§2Euler方法其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.78现在假设求解节点为xi=a+ih(i=0,1,?,m)，其中2－1Euler公式b−ah=为步长，这些节点相应的函数值为m对常微分方程初值问题：y(x),?,y(x).在点x处，已知1mn⎧'y=f(x,y)⎨'⎩y(x0)=y0y(xn)=f(xn,y(xn))y(
4、xn+1)−y(xn)'数值求解的关键在于消除其中的导数项——称用xn的向前差商近似代替y(xn)，如x−xn+1n为离散化.利用差商近似逼近微分是离散化的一§1，则得到所谓的Euler公式个基本途径.yyh=+f(,)xy——单步、显式格式nn+1nn9102－2后退的Euler公式Euler公式的局部截断误差：同样对常微分方程初值问题，在xn+1点，已知假设yn=y(xn)情况下，y(xn+1)−yn+1称为局部'y(x)=f(x,y(x))，如果用向后差商n+1n+1n+1截断误差.y(xn+1)−
5、y(xn)'yx''()代替y(xn+1)，则得到后退的Euler公'2n3hyx()−=+yyx()hyx()+hOh+()nn++11nn2式：''yx(n)23−−yx()(,()nnhfxyxn)=+hOh()yyhnn+11=+f(,)xyn++n122y(x)−y≈hy'(x)——单步、隐式格式故有n+1n+1n.21112相对于以上可以直接计算yn+1的Euler公式（显局部截断误差：式），上式是隐式公式.一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.假设yn=y(xn)，则y=y(x)+
6、hf(x,y).n+1nn+1n+1求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的由于(0)初值yn+1，计算f(xn+1,yn+1)=f(xn+1,y(xn+1))+fy(xn+1,η)[yn+1−y(xn+1)](1kk+)()且yy=+f(,)(0xyk=,1,)?，nnn++11n+1(k)limy如果k→∞n+1收敛，则其极限必满足上述后退''''2f(,()xyx)()()()()==++yxyxhyxOhnn++11n+1nnEuler公式.1314则有12yh=−fxyy(,)η[()xy]()
7、()+xh+y'2xh+y'()()xO+h3考虑到=+1(,hfynxO+1η)(+h)ny++11nnn+1+1nnn1(,−hfxyn+1η)，则有将此式减去式hh22''3''y()x−=y−yxOh()()+≈−yx()2nn++11nn''h'322yx()()=++yxhyx()yx()()+Ohnnn+1n2可得，2h''3y()xyh−=f(,)xyη[()]xy−−y()()xO+hnny++11n+1nn++11n215162－3梯形公式梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：由
8、于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，(0)⎧yyh=+f(,)xynn+1nn符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：⎪⎨(1kk+)h()⎪yyf=+[(,)(,)]xyf+xynn++11nnnn+1h⎩2yyf=+[(,)(,)]xyf+xynn++11nnnn+12局部截断误差：类似于后退Euler，可计算出——单步、隐式格式h3'''y(x)−y≈−y(x)n+1n+1n1217182－4改进的Euler公式估计上
