基于截断Poisson分布的Marshall-Olkin拓展分布

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1、高校应用数学学报2014，29(2)：138—146基于截断Poisson分布的Marshall—Olkin拓展分布章迎莹，张奕。，，(1．浙江大学数学系，浙江杭州310027；2．中央财经大学中国精算研究所，北京100081)摘要：采用复合分布的方法，将一个参数和一个已有分布组合成一个新的分布的方法，研究新分布与原分布之间的DFR的继承性和似然序关系．在原分布分别取为指数分布和正态分布时，分析其密度函数和危险率函数的等统计特征．最后，用一组数据进行实证研究，利用极大似然估计估计出参数，分别用指数扩展分布和指数分布拟

2、合进行比较．关键词：零截断Poisson分布；危险率函数；指数分布；正态分布；DFR；随机序；极大似然估计中图分类号：O211．3：O212文献标识码：A文章编号：i000—4424(2014)02—0138-09§1引言指数分布在可靠性理论和生存分析中有广泛应用的分布之一，但由于指数分布的危险率(hazardrate)函数是个常数，使得指数分布在实际使用中受限．为了寻找更适合实际的分布，学者们尝试通过扩展已有分布得到新的分布来增加模型的灵活性．例如，Weibul1分布的生存函数是指数分布的生存函数的幂函数，即指数分

3、布是Weibul1分布的一个特例．显然，通过变换，Weibul1分布具有的危险率函数是指数分布的倍数．Marshall~lOlkin[】提出了一种新的构造新分布的方法，将一个参数引入一族分布()(以下文中称为“原分布”)得到新的一族分布()，即。一p(、G(、1=—1=-=一，其中，=1一．一OF(x1Marshal1和0lkin将这一个参数称为“tiltparameter”，因为当01(0<01)时，新的分布族的危险率会低于(高于)原分布族的危险率．随后，一些学者利用Marshall-Olkin提出的方收稿日期：2

4、013-0％19修回日期：2013．12-11基金项目：教育部人文社会科学重点研究基地基金(iIJJD790053)；教育部人文社会科学研究项目(13YJA910005)；浙江省自然科学基金(LY13A010001)；中央高校基本科研业务费专项资金’通信作者，Email：zhangyi63@zju．edu．an章迎莹等：基于截断Poisson分布的Marshal1．Olkin拓展分布139法，研究了一些分布族的推广，例如推广的wleibu11分布(Ghitany等人[2]．Zhang~HXie[3])，推广的Pare

5、to分布[4】1推广的Gamma分布(rustic等人【】)，推广~Logmax分布(Ghitany等人[。】)，推J的均匀分布(Josea和Krishnabf7】)，Zipf分布(Pdrez-．CasanySUCasellas[~)，PowerLog-norma1分~(Cuit'。】)等等．本文将利用Marshall和Olkin提出的扩展分布的定义，在原分布是连续型分布的假设下，采用随机序的方法，比较分析新分布与原分布的差异．并据于截断的Poisson分布构作新的Marshall和Olkir~扩展分布，以指数分布和

6、对数正态分布作为原分布，研究其扩展分布及其密度函数，危险率函数，各阶矩等等．最后，利用实际数据，实证指数扩展分布在数据是重尾情形下拟合的优越性．§2扩展分布模型及其随机序关系MarshallSU0lkin：扩展分布的一种构造方法是由一个复合随机变量得到，即一组独立同分布的随机变量和一个具有几何分布的离散随机变量的复合，X=min{X~一，Ⅳ1，其中{，i1)独立同分布与随机变量具有相同的分布，这种方式将几何分布的参数融入了随机变量的分布中，得到了新的分布X．Marshall~IOlkin扩展分布的灵活性和适应性来源于

7、上述复合随机变量的广泛存在．显然这样的扩展分布并不一定拘泥于Ⅳ是几何分布．但是由于其复合的复杂性，因此，对于一般的随机变量Ⅳ，要给出其扩展分布X=min{X1，⋯，XN，具体的分布形式或数字特征等有相当的难度，本节将从随机序的角度比较扩展分布与原分布．2．1扩展分布与原分布的DFR性质假设随机变量的分布函数为F()，生存函数为)，密度函数为，()，其危险率函数为)=．如果随机变量具有单调减的危险率函数，则称随机变量有DFR(decreasingfailurerate)性质，见,Denuit等人的工作f10】．定理2．

8、1如果随机变量序列{，i1)是一列相互独立的随机变量，并与随机变量有相同的分布，有DFR的性质，那么新的随机变量X=min{X1，⋯，Ⅳ也具有DFR性质．证记随机变量的分布函数为F)，随机变量Ⅳ的分布函数为Ⅳ(佗)，由的构造可知，G()=／Pr(X1>，⋯，，n>x)dN(n)=／F(，n)dN(n)．其中(z，n)=())，则其危险率函数(，