2、(i=1,2,...,n)为偏差：ei=yi−ϕ(xi)•如果所有偏差的平方和最小，即2nnnm∑2∑[]2∑⎡∑2⎤Q=e=y−ϕ(x)=y−axiii⎢ikk⎥i=1i=1i=1⎣k=0⎦•则ϕ(x)成为最小二乘拟合多项式。•根据偏差的平方和为最小的条件来选择拟合曲线系数a(i=0,1,...,m)的方法叫做最小二乘法．i最小二乘原理最小二乘原理(2/2)(2/2)•求系数ai(i=0,1,...,m)∂Q•为使Q最小，则=0,i=0,1,...,m∂ai•整理后得s0a0+s1a1+⋯+smam=v0⎫⎪s1a0+s2a1+⋯+sm+1a
3、m=v1⎪⎬(1)⋯⋯⎪sa+sa+⋯+sa=v⎪m0m+112mmm⎭其中nnklsk=∑xivl=∑yixii=1i=1(1)式称为最小二乘法的正规方程组最小二乘法实验数据拟合最小二乘法实验数据拟合(1/3)(1/3)•非线性拟合2my=a+ax+ax+...+ax+ei01i2imii•在化学量测中，用多项式逼近函数来拟合各种曲线。–对于指数函数，先进行直线变换。•对于n对实验数据(xi,yi),(i=1,2,...,n)，求解多项式的系数(即求解正规方程组)，使Q最小。最小二乘法实验数据拟合最小二乘法实验数据拟合(2/3)(2/3)nn
4、kl•由sk=∑xivl=∑yixi得i=1ni=1nn00s0=∑xi=nv0=∑xiyi=∑yii=1i=1i=1nns1=∑xiv1=∑xiyii=1i=1nn22s2=∑xiv2=∑xiyii=1i=1⋮⋮a(i=0,1,...,m)由此求解正规方程组，得出:imi则最小二乘法拟合多项式为:y=∑aixi=0最小二乘法实验数据拟合最小二乘法实验数据拟合(3/3)(3/3)•例：在造纸业中，加入润滑剂量与纸的平滑程度有关，根据下表建立润滑剂量与平滑度之间的关系。加碱量(Kg)246810平滑度(%)0.710.850.920.800.75
5、MatlabMatlab实现最小二乘拟合实现最小二乘拟合•p=polyfit(x,y,n)–x,y为要拟合的数据，n为最小二乘拟合多项式的阶次•n=1:最简单的线性拟合，通常称为线性回归。–p为拟合多项式的系数，从最高次到常数项排列。•y=polyval(p,x)–求多项式p在自变量为x时的值–y为求得的值MatlabMatlab实现最小二乘拟合实现最小二乘拟合•例3：对于例数据，则•x=[246810];•y=[0.710.850.920.800.75];•p=polyfit(x,y,2);•x1=2:0.1:10;•y1=polyval(p
6、,x1);•plot(x,y,'ob',x1,y1,'-r');试验数据的平滑技术试验数据的平滑技术•数据平滑：去除数据中的随机噪声，保留有用信息，提高信噪比。–消除小方差信号、保留大方差信号–注意：不正确地进行平滑处理可能会将微弱信号当作噪声处理掉。•测量数据的平滑方法–图解平滑法–计算平滑法•非常有效的方法：最小二乘多项式平滑法(Savizkg-Golay卷积法)多项式平滑原理多项式平滑原理(1/2)(1/2)•n=2m+1个等距离测量点xi，平滑使用的数据个数，平滑窗口的宽度•在应用中，xi取整数-m,-m+1,…,-1,0,1,…m-1
7、,mk−1j•用k-1次多项式拟合yi=∑ajxij=0多项式平滑原理多项式平滑原理(2/2)(2/2)•平滑公式:Y=BY•其中Y为原试验测验点•Y为平滑值•B为平滑矩阵,(2m+1)×(2m+1)阶五点数据的平滑五点数据的平滑(1/3)(1/3)•对于五点k-1次平滑•n=5,m=2,i=-2,-1,0,1,2•K一般取3或4.•对于五点二次，k=3，矩阵B为⎛319−3−53⎞⎜⎟⎜913126−5⎟1⎜⎟−3121712−335⎜⎟⎜−5612139⎟⎜⎟⎝35−3931⎠五点数据的平滑五点数据的平滑(2/3)(2/3)•由⎛⎜y−2⎞
8、⎟⎛319−3−53⎞⎛y−2⎞⎜⎟⎜⎟⎜y−1⎟⎜913126−5⎟⎜y−1⎟⎜⎟1⎜⎟⎜⎟⎜y−0⎟⎜−3121712−3⎟⎜y−0⎟35⎜y1⎟
