《4.1.1 数系的扩充与复数的引入 》同步练习

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1、《4.1.1数系的扩充与复数的引入》同步练习基础巩固强化一、选择题1．复数(1＋)i的虚部是(　　)A．1　　　B．　　C．0　　　D．1＋[答案]　D[解析]　不要受a＋bi形式的影响，该复数中a＝0，b＝1＋.2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C[答案]　D[解析]　∁SA＝{虚数}，∁SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数．3．(2014·白鹭洲中学期中)复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为

2、虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　)A．0或－1B．0C．1D．－1[答案]　D[解析]　∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.4．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为(　　)A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0[答案]　A[科§网][解析]　依题意得，解得，故选A.5．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　当a＝b＝0时复数为0是实数，故B不正确．由(a

3、－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则，解得a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．6．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；[k.Com]②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是(　　)A．①B．②C．③D．④[答案]　D[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，①错误；在③中，若x

4、＝－1，(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故③错误；两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．二、填空题7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝________，y＝________[答案]　x＝，y＝1[解析]　由复数相等可知∴.8．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．[答案]　－1[解析]　可以A∩B＝{3}来寻找解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，∴，解得a＝－1.9．若

5、复数z＝(m2－5m＋6)＋(m－3)i是实数，则实数m＝________.[答案]　3[解析]　由题意，得m－3＝0，∴m＝3.三、解答题10．复数z＝＋(m2＋2m－8)i(m∈R)，当m为何值时，z为：(1)实数、(2)虚数、(3)纯虚数．[答案]　(1)－4　(2)m<－4或－4

6、sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(0∈R)，z1＝z2，则θ等于(　　)A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．2kπ＋(k∈Z)[答案]　D[解析]　由复数相等的定义可知，XK]∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.12．以2i－的实部为虚部，以i＋2i2的虚部为实部的新复数是(　　)A．2－2iB．2＋iC．－＋iD．－i[答案]　D[解析]　2i－的实部为－，i＋2i2＝i－2＝－2＋i的虚部为，所以新复数为－i.13．若复数(a2－a－2)＋(

7、a－1

8、－1

9、)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2[答案]　C[解析]　解法一：(验证排除)a＝－1时，复数为i，是纯虚数，∴a≠－1，排除A，D；a＝2时，复数为实数0，∴a＝2，排除B，故选C.解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有，或a2－a－2≠0，解得a≠－1.二、填空题14．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝________.[答案]　2kπ＋(k∈Z)．[解析]　由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，知，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．15．若复数cos2θ＋i(

10、1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，则θ的值是________.[答案]　θ＝kπ－(k∈Z)[解析]　由于复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即，由cos2θ＝0可得cos2θ－sin2θ＝0，即tan2θ＝1.∴ta