排队论模型16074

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1、应用数学系王海军whjee@sohu.com排队论模型及应用一、背景例子顾客在超市排队付款，汽车排队过收费站旅客在售票处排队购买火车票病人排队候诊a.增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费；b.减少收银台，顾客排队时间太长。选择最优收银台数二、随机服务系统顾客等待服务接受服务顾客离开三、常用排队论模型—M/M/s模型(1)顾客到达规律：Possion过程定义1时间段t内到达的顾客数，即定义2时刻t顾客数满足：顾客到达的时间间隔独立同指数分布，即(2)服务时间：指数分布服务时间(3)排队规则：先到先服务四、一般排队论模型（1）爱尔朗(Erlang

2、)分布若独立同分布于指数分布，则称其为阶爱尔朗分布。密度函数时爱尔朗分布即为指数分布，顾客来到规律：顾客来到的时间间隔独立同分布于爱尔朗分布；顾客接受服务时间：假如顾客接受连续串联的个服务台的服务，各服务台的服务时间独立同分布于指数布，则顾客接受服务总时间服从爱尔朗分布。（2）更新过程顾客来到时间间隔或服务时间独立同分布，即独立同分布。（3）其他排队规则后到先服务仓库里存放物品的选取随机服务停车场上选乘出租车优先服务医院急诊银行金卡用户五、M/M/s模型的应用1.M/M/1系统1个服务台(1)建模：时刻t系统内有n个顾客的概率事件包含三种情况：且内到达一

3、人；且内离开一人；且内无人到达或离开。根据全概率公式动态模型：稳定状态：与时间t无关解此方程组得稳定状态解为：令为服务强度，则由知(2)稳态解因而●系统平均队长●排队等待的平均队长●顾客排队逗留时间顾客到达时间间隔，服务时间，顾客排队逗留时间顾客平均逗留时间●顾客平均等待时间例1.某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？病人平均等待时间是多少？解：设病人来到服从Possion分布，医生诊断时间服从指数分布，则该系统是M

4、/M/1系统，且为满足99％以上的人有座位，设应设m个座位，则注：①M/G/1排队模型顾客到达规律：Poisson过程顾客接受服务时间：独立同分布于G分布G分布的期望和方差分别为：时，②M//1排队模型顾客接受服务的时间服从爱尔朗分布时，(3)M/M/1系统的最优服务率设进入系统的顾客单位时间带来的损失为,单位时间服务台每服务一位顾客的服务成本为,则单位时间总费用的期望值为由解得最优服务率为由及最优服务率随着进入系统的顾客数和损失费的增加而增加,随着服务成本的增加而减小.例2某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障

5、机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布,每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间.解:由题意知最优服务率为即最优的机器维修时间为2.M/M/s系统s个服务台（1）模型（2）稳态解记，系统稳定的条件：系统中有个顾客的概率排队等待平均队长系统平均队长顾客在队列中平均等待时间顾客在系统中平均逗留时间以s＝2为例，设两个服务台的平均服务时间均为，有两种服务方式(A)M/M/2系统(B)两个M/M/1系统设置多个服务台的随机服务系统，仅从等待时间考虑，应该让顾客只排一个队(3)M/M/s系统的最优服务台数设

6、顾客等待单位时间带来的损失为,单位时间每个服务台的服务成本为,则单位时间总费用的期望值为是等待顾客平均队长.最优服务台数目满足:当取最小值时应满足:对于依次计算及当已知满足时即可确定最优值将的表达式代入得例3某商场的顾客按possion流到达收银台，平均每小时到达45人。顾客结算时间服从指数分布，平均结算时间为1分钟。顾客每等待一小时,商场就损失5元的利润，每设置1个收银台成本为10元/小时，试问设置多少个收银台最合理？解：由题意，系统内等待的顾客平均数为①若建设一个收银台，则为M/M/1系统，服务强度最优收银台数满足:即②若设置2个收银台，则为M/M/

7、2系统，其服务强度为系统内等待的顾客平均数为③若设置3个收银台，则为M/M/3系统，其服务强度为系统内等待的顾客平均数为即最优的收银台数为2.五、大型超市购物者付款排队系统优化模型模型设置顾客等待损失:顾客能够接受的平均等待时间变量：顾客i时段的平均到达率服务员的服务率系统的服务强度开放s台收银机时系统中有n个顾客的概率2.最优收银台数系统达到稳定状态时，一个顾客在收费系统中的平均等待时间不超过顾客能接受的平均等待时间，求此时的最小收费台开放数。设表示时段i开放的个收费台中正在工作的台数，的分布为：收银台有效工作效率为3.应用上海某大型超市客流调查数据：

8、开放台数的期望值：时段/时9:00-10:0010:00-11:0011:00-