资源描述：
《不等式证明(陈老师)_》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、不等式证明一、不等式证明的方法与技巧不等式证明的基础是对于任意实数,.常用方法有:比较法(作差比较、作商比较)、分析法、综合法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法等等,证明方法因题而异,一题可以多种方法,能够显示选手的思维能力.例1设,,是正实数,求证:.分析与解设,,中最大,若,则不等式显然成立.若,则可以应用二元均值不等式同理,.以上三式相乘,即证.例2已知,且.求证:.证明.例3设，，为正实数，且，证明:.证明因及,所以.因此,同理,,以上三式相加即证.例4若,且,求证:.证明任取,令,由得从而有,又,所以
2、.例5设是正实数,并且,证明:.分析与解注意条件不等式的证明,充分利用abc=1,观察不等式左边各式特征,找到一个放缩式,由有,所以.以下略.例6设是三角形三边,求证:.证法一作差变形,因式分解,注意到,,.证法二欲证不等式等价于.这里分别为题设三角形三边所对应的内角,应用三角变换,则可证.证法三由,,于是,即有,,,也即,化归为解法二的最后不等式..例7△ABC的三边满足条件,证明:.证明因为,所以,欲证的不等式等价于.构造一个辅助函数.一方面,所以；另一方面因是三角形的三条边长，所以，均为正数,利用平均不等式
3、,有,所以,即.本题我们巧妙地构造了一个辅助函数,通过从两个方面来考察，使问题得到了证明.构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的.二、平均值不等式,,,,,则.不等式中等号成立成立的条件是.例8以知,且,求证:.证明应用.略.例9已知,且,求证:.证明由已知,得，令,则,由,,,得,从而,得.例10已知,且,求证:.分析与解时,不等式中等号成立.此时,由二元均值不等式可得，,，以上三式相加,整理可得,而,所以.例11已知,求证:.分析与解只须
4、证.,应用均值不等式即可证.例12,,证明:.分析与解由二项式定理知,又,应用即可证.例13若,证明:（1）；（2）.分析与解,以下略.三、柯西不等式设,则,等号当且仅当，（λ为常数,）时成立.例14设且,试证:.证法一应用柯西不等式推论由,得,从而原不等式等价于,.证法二（平均值不等式）由,有,得.同理,,三式相加得.例15已知,且,求证:.证明先变形,所以不等式等价于.由柯西不等式推论有,又由柯西不等式有，,故原不等式成立.例16设n是大于1的自然数,求证:.证明当n=2时,有,当n=3时,有,所以下面证明中
5、可设n≥4.联想到柯西不等式.于是若能证得①即可，而①式等价于②,因为n≥4，故,所以②成立,n=2,3时已检验原不等式成立.所以对的自然数有.例17设为正实数,证明:.证明由柯西不等式知,而对,均有.于是.所以,由①知.例18已知正实数满足,证明:.证明设.由条件式,有,于是.利用柯西不等式有.因为第一个不等式等号成立的条件是,第二个不等式等号成立的条件是,所以两个等号不可能同时成立，故.例19设,证明:.证明,所以,原不等式成立.此题推广设,且),则.说明:柯西不等式的灵活应用,不仅在于如何找出两组符合条件的
6、数组,它们能符合公式中的项数、次数、系数和元素等对应的特征,更重要的是对于它的几种常见的变形的理解,以及它与其他不等式的结论的联合应用.四、综合例子例20设,且,证明:.证明.又.所以.原不等式得证.例21已知是正实数,求证:.证明由,则,,,原不等式等价于①.为证明不等式①，应用柯西不等式推论.例22设且,证明:①.证明注意到，如果能证明不等式②成立，就可得到待证的不等式.令，，，且使，则不等式②变为③,去分母，展开并化简，得④,应用A-G不等式即可证④.例23设为三角形的三边长,证明:.证明设，，，则，，，，
7、于是，所求证的不等式左边等价于,由柯西不等式推论得，.例24已知正实数满足,证明:.证法一结论不等式等价于.整理，得.由均值不等式,得，，，.以上四式相加,得.于是，只须证明,不妨设,则由排序不等式即可证出,其中等号成立,当且仅当.证法二根据幂平均不等式得则①由均值不等式得②由柯西不等式得.结合②③结合①,③,即得所证不等式.证法三显然,下面证明.经整理，知上式等价于.而,所以上式成立.于是.结论得证.例25m个互不相同的正偶数和n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m与n,问3m+4n的最大值是
8、多少?证明你的结论.分析先根据题设条件求得3m+4n的一个上界,然后举例说明此上界可以达到,从而得到3m+4n的最大值.解设是m个互不相同的正偶数,是互不相同的正奇数,使得①这时分别有②③由①,②,③得,因而有,即由于为整数,所以.另一方面,当m=27,n=35时,且,故3m+4n的最大值为221.
