报童__数学建模

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1、报童售报模型一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a和b,c就可以建立关于购进量

2、的优化模型。三、模型建立：假设每天购进量是n份，需求量是随机的，r可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。记报童每天购进n份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r份；如果需求量人r>n,则r份将全部售出。需求量为r的概率是f(r),则问题归结为在已知时，求n是G(n)最大。四、模型求解：购进量n都相当大，将r视为连续变量便于

3、分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令得得到n应满足上式。使报童日平均收入达到最大的购进量为根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则Onr因为当购进n份报纸时，是需求量r不超过n的概率；是需求量r超过n的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。五、结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该越多。六、练习：利用上述模型

4、计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？当a=1,b=0.75,c==0.6时需求量r服从分布。对应的正态分布表得到对应概率为0.9515所以购进量为当r<=n时最高收入为当r>n时最高收入为蒙艳珍20100431316