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时间：2019-06-14
《数理方程第二章(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.2有限长杆上的热传导一均匀细杆长为l，在x=0端温度为0度，且保持温度不变，x=l端与外界绝热。已知初始时刻温度分布为试求细杆上温度的变化规律。令代入方程及边界条件中,并引入参数得当或时,特征问题当时,由边界条件从而亦即特征根特征函数为：T的方程解得所以代入初始条件比较系数得：注1：对于波动方程和热传导方程而言,边界条件唯一确定了其特征值和特征函数。特征值特征函数取值范围一一一二二二二一注2：用分离变量法求解包含第三类(齐次)边界条件的定解问题时，其过程与第一类边界条件相同，但在确定特征值时，一般比较复杂。例细杆
2、的热传导问题长为的均匀细杆，设与细杆垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。解定解问题为设且得特征值问题由及齐次边界条件，有当或时,当时,由得由得故即令有函数方程ry图1由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故特征值为：对应的特征函数的方程：解为故由初始条件得将展成以为基底的Fourier级数可以证明:函数系在上正交（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解出特征值和特征函数（四）将叠加，利用初始条件确定系数。从而得到问题的解。（一）将偏微分方
3、程化为常微分方程－－（方程齐次）分离变量法解题步骤－－（边界条件齐次）（三）将特征值代入另一常微分方程，得到解。并将此解与特征函数相乘，得到练习：求下列定解问题的解其中课后作业P53习题二5.6.
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