数理方程复习提纲2(2011)

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1、数学物理方法复习提纲第九章定解问题的物理意义1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。3、初始条件的意义及确定。4、重点掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。第十章利用积分变换解无界问题1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程。2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。第十一章一维有界问题的分离变量1、理解分离变量法的基本概念：方法、条

2、件、不同定解问题的通解形式。2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开,方程的解按本征函数的展开；3)求解关于方程的解；4)定解问题的解。5、掌握非齐次边

3、界条件的齐次化。第十二章球坐标的分离变量Legendre多项式1、了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz方程的导出和含时间变量满足的方程。2、了解Helmholtz方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre方程。3、Legendre方程的解，Legendre方程的本征值问题：1、Legendre多项式的性质：1)重要的公式：（要求记忆）2)Legendre多项式的母函数3)Legendre多项式的递推关系（不要求记忆）4)掌握Legendre多项式的正交关系和广义Fourier展开正交关系亦可以利用系数比较法计算系数。2、熟练掌握稳态

4、轴对称问题1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题；2）稳态轴对称问题的通解定解问题3）稳态轴对称问题的特解：a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数和的取值。b）由边界条件，利用系数比较法确定特解的系数或者。第十三章柱坐标的分离变量Bessel函数1、掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel方程2、周期性边界条件的本征值问题：1）本征值问题2）通解或者n=0,1,2,3,…3）本征函数的正交关系及按本征函数的Fourier展开1、熟

5、练掌握圆域Dirichlet问题的通解与特解定解问题通解或特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项由边界条件，利用本征函数的正交关系，确定特解的系数，亦可以利用系数比较法。2、Bessel方程的解，满足的方程的本征值问题本征值：（是n阶Bessel函数的第m个零点）本征函数：3、Bessel函数的性质（整数阶）1）重要的公式：2）Bessel函数的母函数：利用t的一些特殊值，证明一些等式。3）n阶Bessel函数的递推公式（不要求记忆）应用a)递推公式展开时的一些特例；b)掌握公式在计算型积分时的应用。4）Bessel函数的正交关系（了解）本征值和本征函数的意

6、义，本征函数正交性3）本征函数的广义Fourier展开（了解）1、熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解解题步骤和方法：（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。（1）定解问题（2）分离变量（3）本征值：本征函数：（4）关于方程的解（5）方程的通解：2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类

7、齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。a)波动问题本征值：本征函数：b)热传导问题本征值：本征函数：