塑性力学-简单弹塑性问题

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1、简单弹塑性问题1一、直梁的弹塑性弯曲1.梁的纯弯曲by()Mh/2Mxozh/2y等截面梁，y轴是横截面的对称轴，x是梁的纵轴，纯弯曲发生在xoy平面内。2基本假设平截面假设：横截面保持平面；与挠曲的轴线垂直单向受力：梁各纵向纤维之间无相互作用σx≠0中性层1dθ中性层曲率半径：=ρdxy纤维的正应变：ε=ρ对弹塑性问题仍然适用3线弹性正应力分布：M1Mσ=y=IzρEIz当上下边缘应力达到屈服极限：Meh1σsεsσmax==σs==Iz2ρeEh2h2Me弹性极限弯矩ρe弹性极限曲率半径M>M？e上下边缘出现塑性区，截面上弹性区、塑性区共存4塑性本

2、构关系：−σsσ=Φ(ε)−−ys截面上的应力分布情况:ys++⎧yσyy≤⎪ssyyσσ()=⎨ssyσ=⎪Φ≥yε()εy⎩sρ梁截面的平衡条件：hh/2/2∫σσ()()ybydyy=0,∫()()ybydy=M−hh/2−/2中性层曲率：1σs=ρEy5sh2ysh2M=2∫σ⋅dA⋅y=2∫σ⋅dA⋅y+2∫σ⋅dA⋅y00ysEh2=I(A)+2Φ(ε)⋅dA⋅yze∫ysρσh2s=I(A)+2Φ(ε)⋅dA⋅yze∫yyssß理想弹塑性材料、矩形截面b×h−σσ=Φ(ε)=σss−⎡I(A)⎤zeyM=σs⎢+Sp⎥sy⎣s⎦ys2+2

3、3h2其中：I(A)=b⋅yS=b(−y)zesps346σsM31ys2=−()M22h2e塑性极限弯矩MpMp3ys=0=M2e弯矩与曲率(曲率半径)MMe1.5Mρe=M≤MeMeρ1M31ρ2=−()M>Me0ρeρM22ρee17ß线性硬化弹塑性材料、矩形截面b×hσ−σ塑性区sFσ−h/2sysEozysh/2+O弹性区y塑性区εsεσs⎡⎤σh2Fεsσ=Φ(ε)=σs⎢1+(−1)⎥M=Iz(Ae)+2∫yΦ(ε)⋅dA⋅yEεys⎣s⎦sM1Fρ23FFρεy=(−1)()+(1−)+e=εsysMe2Eρe2EEρ8当F=0即理想弹

4、塑性M31ρ2=−()M22ρee当<<12ρρe(ρρ)高阶小量eM3FFρe≈(1−)+M2EEρeMMe1ρρe019残余应力、残余变形理想弹塑性材料的矩形截面梁−σs−−εs−−+ysy−s++++σsyε=*σσσρ卸载前的应力、应变：σεM卸载过程应力改变量：σ=yI残余应力：*σ=σ−σ102.等截面梁的横向弯曲•弯矩是变化的M=M(x)•存在剪应力忽略剪应力对屈服的影响⎧yσ在时yyx≤()⎪ssxyyxσ(),=⎨s()⎪⎩Φ≥()ε在时yyxs()例题：均布荷载作用下的理想弹塑性材料矩形截面简支梁11qx•外荷载引起的弯矩ys()0

5、yxs()qx22l/3M()xl=−()x2lly•截面弯矩：2bh2⎡⎤⎛⎞yx()σs4sM=−⎢⎥1⎜⎟43⎢⎥⎝⎠h⎣⎦y=y(x)•弹、塑性区交线ss22yxs−=122AB12其中：hq3qeAB=32,−=−l122qqe•梁的弹性极限荷载qx=0yh=/2es2bhσsq=e23l•梁的塑性极限荷载qpx=0y=0s2bhσsq=p22lqq/1=.5pe塑性铰:梁中截面全部进入塑性状态，几何可动13∑塑性铰的两侧截面无限地转动，曲率无穷，挠曲线在该截面不光滑。∑塑性铰承受弯矩。3.截面的塑性极限弯矩截面上的应力为±σs合力为零A−c

6、−Aσ−Aσ=0+s−scz+A+A+=A−塑性极限状态下，中性轴为截面面积的平分线y14∑弹性变形时，中性轴必过截面的形心∑如果截面的形心轴不平分截面面积，则弹性极限状态和塑性极限状态的中性轴不重合。等腰三角形截面z中性轴弹性范围：'2h=h312'弹性极限弯矩：M=bhσhesh24z2塑性极限：h'h=2y塑性极限弯矩：2−22M=bhσbps156二、圆杆的弹塑性扭转zTrRyzoθyoxθxT变形的基本假设：1)直径在变形过程中没有弯曲及伸缩2)变形后截面仍为平面，任意两个截面距离不变而只发生相对转动16横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内

7、并且垂直于该点的半径不为零的位移分量：u=αzrθτγ不为零的应力应变：zθzθ几何关系：γ=α⋅rR平衡方程：T=∫τ⋅2πr⋅dr⋅r0ß弹性范围弹性关系：τ=G⋅γ4πGRT=α217弹性范围弹性极限：r=Rγ=γs43γsπGRπRα=T==eeαeTeτsR22Tα=Tαee18γ弹塑性塑性yrR弹性soß理想弹塑性T>Te几何关系：γ=α⋅rγsx弹塑性区界面：r=rγ=γssτγsαRα==塑性rsαresyrR弹性s本构关系：oτ弹性区：τ=Gγs塑性区：τ=τsx19弹塑性R平衡方程：T=∫τ⋅2πr⋅dr⋅r04πGrs2π33T=

8、α+τ(R−r)ss23T41rs3411=−()=−3T33R33(αα)eeTp4=塑性极