单位球上的零伦全纯映照

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1、y9lIlll5关于学位论文独立完成和内容创新的声明／本人向河南大学提出硕士学位b漆士学位口中请。本人郑重声明：所呈交_的学位论文是本人独立完成的，对所研究的课题有新的见解凸，创造性的见解口。播我所知，除文中加阱说明、标注学论文据收本)校学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩即、扫描和拷贝等复制手段保存、汇嫡学位论文(纸质文本和电子文本)。(涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书)学位获得者(学位论文作者)签名：粉澎≤≯‘月、目第一章预备知识本章我们将给出全文中将要用到的一些常用的符号及基本概念，定义和定

2、理多复变函数论是研究复空问。∥m与∥n问的全纯映照，：，∥m．÷∥n。当，∥∈G是一域时，就是单复变函数论。单复变函数论经过几百年的发展已经成为一门相当成熟与深刻的理论，特别是对多值函数的研究，导致黎曼曲面的概念，这是一般的流形(微分流形，复流形)概念的起源．当。∥∈cm(m>1)是一域时，多复变作为一门独立的方向得到研究与发展，是从二十世纪初开始的．当时Poincare和Hartogs等人发现多复变中有与单复变有本质区别的若干现象．而在此前，人们似乎认为多复变不过是单复变的平凡推广．多复变函数论研究的重点，正是研究

3、这些单复变函数论不可能有的性质．多复变是研究多个复变量的学问，是研究高维的．单复变几何函数论是复分析中的一个重要组成部分，其历史源远流长，它的根源可追溯到著名的Riemann映照定理．在上个世纪相当长的一段时间内，有不少数学家，如P．Koebe，L．Bieberbach，C．LoewⅡer，G．M．GoIllzon，P．L．Dllren，Ch．Pommerenke，H．GruⅡ8kylM．Sshi踮r和LdeBranges等，为单变数几何函数论的发展做出了重大的贡献，从而使它的内容非常丰富和完善，获得的结论也十分优美

4、和深刻。如何将单复变几何函数论中众多的成果推广到多复变数中去?最早考虑这件事情的数学家也许是H．cantaIl[1】。1933年，他指出：即使象“在单位圆上全纯单叶函数的展开式的系数的模是有界的”，这样的基本结果，在多复变数也是不成立的。但是在多复变数全纯映照的展开式中，同一阶的系数，不再是一个，而是有很多个。有没有这种可能：对一个系数来讲，其模不再有界，而对一些系数加以适当地组合之后，其模却可望有界。FitzGerld的反例否决了这点，也就是说，不论将这些系数进行何种组合，其模均可无界，这个反例十分信服地告诉我们，

5、如果将单复变数几河南人学硕十学位论文何函数论中的一些结果，推广到多复变数空间中去，而又指望得到一些正面结果的话，光有双全纯映照的条件是不够的，必须加上其它的一些限制。H．cartan还指出，相应的增长定理及掩盖定理等，若只要求映照是双全纯，这在多复变中也是不成立的。但他指望多复变数的双全纯映照的偏差定理有可能成立。其实很早以前就有人知道，这是不可能的，那么应该加上哪些限制来企图得到一些正面的结果?H'cartall建议考虑双全纯映照的子族，如凸映照和星形映照等一些特殊的映照类。人们经过50年的努力，直到1988年，才

6、由龚升教授，c．H．FitzGerald教授和R．w．Barnard教授三人率先在多复变几何函数论的研究上取得重大突破。尔后，国内外的不少学者，如T．J．su蹦d即，王世坤，余其煌，郑学安，刘太顺，I．GrahaIn，H．H砌ada和G．Kohr等，在龚异教授的直接带领或指导下，做了大量的后续研究工作，获得了一批可喜的研究成果，从而极大地丰富了多复变几何函数论的内容。为了总结成果，继续向前，并为后来者铺路，龚界教授几次将一些重要的成果撰写成下面的专著陆续出版，如[2】【3][4】[5】[6]等。由于全纯函数是5方程(

7、cauchy．Riemann方程)的解，函数论的本质是分析的，而多复变赖以定义的空问是多维的，要弄清结构不可能不与几何和拓扑发生联系。我们已经知道许多星形映照及其子族或扩充的许多有意义的结果，其中星形映照及螺形映照是多复变几何函数论中两个重要的映照类，他们共同的几何特征是其像域中任一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，在本文的第二章我们将从同伦的观点出发研究伊中单位球口n上的零伦全纯映照．并给出单位球B“上零伦全纯映照的判别方法。由于在多复变数中，目前人们仅知道为数不多的正规化双全纯凸映照，正规化双全纯星形映照及其

8、子族或扩充的例子，但在单复变中，这样的例子是很多的．于是人们提出了这样的问题：能不能通过一个算子把单复变中单位圆盘上的『F规化双全纯函数分别映成多复变中特定区域上相应的映照?195年，K．A．R0per与T．J．suffridge最先引入这样的算子，它可以从复平面c中单位圆盘上的一个正规化局部双全纯函数f构造出Gn中单位球Bn上的一个正规化局部