专题6.2 等差数列及其前n项和（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、【重点知识梳理】一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3

2、．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．【特别提醒】1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．学科网学

3、易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!7联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)Sn＝n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值

4、时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【高频考点突破】考点一、等差数列的判断与证明1．证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．

5、例1、在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．考点二、等差数列的基本运算1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．例2、已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；学

6、科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!7联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．考点三、等差数列的性质1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．例3、(1

7、)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于(　　)A．66　　　　　　　　　　　B．99C．144D．297(2)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)A．18B．17C．16D．15【经典考题精析】（2013·新课标全国卷Ⅰ]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)A．3B．4C．5D．6（2013·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．（2013·北京