专题6.3 等比数列及其前n项和（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、【重点知识梳理】1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，

2、则am·an＝ap·aq＝a.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；an＝amqn－m.【特别提醒】1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和Sn学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚

3、邀各地代理，有意者，敬请联系!8联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．【高频考点突破】考点一、等比数列的判定与证明等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数

4、列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．考点二、等比数列的基本运算1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨

5、论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．例2．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{3an}的前n项和．考点三、等比数列的性质等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．例3．(1)已知{an}

6、为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!8联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898A．7　　　　　　　　　　　B．5C．－5D．－7(2)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)【经典考题精析】（2013·新

7、课标全国卷Ⅰ]若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．（2013·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，

8、则{an}的项只能是1或者2，且有无穷