主理想整环上挠模的元素的阶理想

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1、湖北大学硕士学位论文主理想整环上挠模的元素的阶理想姓名：王美娟申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：刘合国20100501中文摘要摘要设冗是主理想整环，M是见t的挠模．对M上的非零元素仇，annR(m)={z∈R]xm=o)是尉拘一个理想．],已annR(m)=(n)，在相伴意义下，o是唯一的．本文首先证明下面的结论：定理2．1．1设M为冗一模，对任意m∈M，若annR(m)=(o)，则annR(km)=(a／(k，n))．定理2．1．2设M为R．模，任意X，Y∈M，x+y=y+x，若onnR(z)=(o)，annR(y)=(6)，(n，b)

2、=l，则annR(X+Y)=(ab)．定理2．3．1设M是R．模，m，n∈M，RmnRn=Rz，若arlnR(m)=(n)，anrtR(n)=(6)，annR(z)=(后)，则anrLR(m+n)=(bh／(b，h+z))，其中(a／k)m=z-n．令a／k=h．其次，运用上面的定理，本文重新证明了如下的结论：定理3．1．3设M是冗上的有限生成挠模，则M可分解成矿模的直和．定理3．1．4任意P模M可分解成循环模的直和．关键词：循环模；P分量耖模；主理想整环；挠模；阶理想湖北大学硕士学位论文AbstractLetRiSaPID．MiSatorsio

3、nmodule，foraelementwhichiSnotazeroelementinM，annR(m)=x∈Rlxm=0}isaidealofR．NoteannR(m)=(o)，inthesenseofconcomitant,aisunique．Thistextprovethefollowingconclusions：Theorem2．1．1LetMisaRmodule，forallarbitraryelement仇inM，ifon佗R(7n)=(口)，thenanna(krn)=(a／(k，n))．Theorem2．1．2LetMisaRmo

4、dule，forarbitraryelementsz，Y∈M，z+Y=Y+x,ifannR(x)=(口)，anna(y)=(6)，(口，b)=1,thenarInR(x+y)=(ab)．Theorern2．3．1LetMisaRmodule，仃l，n∈R，RrnnRn=Rz，if口佗n冠(，n)=(口)，a甙l,nR(n)=(6)，(InnR(Z)=(忌)，thenannR(m+n)=bh／(b，h+z)，which(a／k)m=l·n．Leta／k=h．Secondly，usethetheoremofabove．Thistextprovethe

5、followconclusionsagain：Theorem3．1．3LetMisafinitelygeneratedtorsionmoduleoverR,thenMcandecomposedirectstlmofp-modules．Theorem3．1．4Thearbitraryp-moduleMCandecomposedirectsumofcyclicmodules．KeyWords：cyclicmodule；p-component；19-module；Principalideadomain；Tot-sionmodule；Orderideal

6、．Ⅱ一1引言及预备知识模论是抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模．模的概念本质上是域上向量空间的直接推广．早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet．EG．L．)就曾经考虑过多项式环上的模．交换环上的模在代数几何中有重要的作用，非交换环特别是群环上的模就是群的线性表示，域上的模就是线性空间．到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步的发展，已成为同调代数，群论，环论，代数K理论，范畴论等分支学科中不可缺少的工具，并在其他数学分支中得到了较广泛的应用．在群论的学习过程中，交换群是一类重要的群类，它的交换性是群的

7、一个非常重要的性质．对交换群的研究前人已经作出了很完美的结果，然而交换群同时也是Z．模，而整数环Z为主理想整环，我们有一个很好的想法就是能否将交换群作为Z．模的性质推广到主理想整环上的模上去．本篇论文的思路正是来源于此．定义1设冗为一非空集合，在R上定义两个代数运算，一个叫做加法，记为a+6'一个叫做乘法，记为口6，如果具有性质：(1)L对于加法成一交换群；(2)乘法的结合律：对所有的a，b，c∈R，有o(6c)=(ab)c；(3)乘法对加法的分配律：对所有的a，b，c∈R，有a(b+C)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca．那么冗就称为一个环

8、．无零因子的交换幺环就称为整环．如果整环R的每个理想都是主理想，则整环j5c叫做主理想整环．定义2设冗为一幺环，M为一交换群，若存在R×