高中数学第三章三角函数3.1弧度制与任意角3.1.1角的概念的推广学案湘教版

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1、3．1.1　角的概念的推广[学习目标]　1.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.2.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[知识链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了半小时，又如何校准？答　可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转180°.2．在初中角是如何定义的？答　定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答　角的范围是[0°，360°]．[预习导引]1．角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线

2、绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α，β，γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：一条射线绕着端点以逆时针方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用正的角度来表示；顺时针方向旋转所成的角称为负角，用负的角度来表示；不旋转所成的角称为零角，用0°表示．2．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角设α＝∠AOB，则所

3、有以OA为始边，OB为终边的角都是α与整数个周角的和，组成集合S＝{β

4、β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.9要点一　任意角概念的辨析例1　在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________答案　①②④解析　①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，

5、显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法　判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练1　设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　)A．BCAB．BACC．D(A∩C)D．C∩D＝B答案　D解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α

6、0°<α<90°}

7、0°～90°的角D＝{α

8、0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α

9、α<90°}第一象限角C＝{α

10、k·360°<α

11、－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法　本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练2　给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个答案　D解析　对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角

12、是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三　终边相同的角的应用例3　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解　(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°