数值分析(计算方法)介绍

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1、数值分析——插值、拟合与数值微积分主讲：刘敬刚9/14/20211数值分析(计算方法)简介考虑如下线性方程组或者：其中,由克莱姆法则可知(1)有唯一的解，而且解为：(1)引例9/14/20212若行列式用按行（列）展开的方法计算，用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数:当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑数值解法=算法+计算机。首先看一个简单的例子：（若是更高阶的方程组呢？）人类的计算能力是计算工具和计算方法效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到

2、科学技术和社会生活的各个领域中，成为继实验和理论研究之后的第三种研究方法。9/14/20213研究对象和主要内容9/14/20214数值分析（数值计算方法）的计算对象是线性代数，微积分，常微分方程中的数学问题。内容包括：求解线性方程组的数值解法、计算矩阵特征值和特征向量、非线性方程和非线性方程组的迭代解法、插值与拟合、数值微积分和常微分方程数值解等问题。直接解法若计算过程没有舍入误差，经过有限次算术运算就能求出问题精确解的数值方法。迭代解法若计算过程没有舍入误差，也不能经过有限次算术运算求得问题的精确解，而只能是逐步逼近的数值方法。数值分析

3、（数值计算方法），是一种研究如何求解数学问题数值近似解的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。包括直接方法和迭代方法!9/14/20215特点9/14/20216学习过程中应该注意以下几个方面：认清算法的计算对象；掌握基本的计算方法及其原理；用C++语言编制程序，在计算机上对算法进行验证；对于算法要勤思考多比较！数值分析（数值计算方法）既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性和实践性都很强的课程。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计

4、算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程。9/14/20217参考书目：1钟尔杰.数值分析.高等教育出版社，2004.2颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000.3李庆扬.数值分析.清华大学出版社，2001.4白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.5王能超.计算方法.北京:高等教育出版社,20059/14/20218数值分析的基本概念算法设计技术误差数值计算中需要注意的一些问题算法的稳定性病态问题内容:9/14/20219算法设计技术古希腊哲学家Zeno在两千多年前提出过

5、一个骇人听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程“永远”不会终结。引例9/14/202110耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速

6、度分别为V与v，记Sk表示逼近过程的第k步人与龟的间距，另以tk表示相应的时间，相邻两步的时间差为Δtk。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过程：追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程tkSk-1SkVvtk-1vV图示:人龟追赶过程9/14/202111若以人和龟之间的距离定义问题的规模大小，则上述过程将问题规模压缩了倍：由于龟的速度远远小于人的速度，故很小，因此按上述步骤很快问题的规模就可以忽略不计，从而得到人追上龟所花时间，Zeno的解释可用如下过程表示：——Zeno算

7、法可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种“化大为小”的设计策略称为规模缩减技术，简称缩减技术。算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！9/14/202112数列求和问题：（1）是最简单的计算模型。若记表示前n项的部分和，则有（2）则计算结果即为所求的和值：（3）这样，如果定义和式的项数为数列求和问题的规模，则所求和值为（1）的退化情形。因之，只要令和式的规模逐次减1，最终当规模为1时即可直接得出所求的和值，而这样设计出来的算法就是累加求和算法（2）。直接法的缩减技

8、术可见，上述累加求和算法的设计思想是将多项求和（1）化归为两项求和（2）的重复，最终加工成一项和式（3）（(1)的退化情形）,从而得出和值。9/14/202113考虑利用缩减技术