数值分析(计算方法)总结

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1、第一章绪论误差来源：模型课差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差£(x)=

2、x-X*

3、是X*的绝对误差，e=X*-X是X*的误差，£(x)=

4、x-X*

5、

6、e「

7、较小时,令6=三=牛XXXX相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：6BU：

8、er

9、=^<^-=Er

10、x*

11、

12、x*

13、绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值X*的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到X*的第一位非零数字共有n位,则称近似值x*有n位有效数字,或说x*精确到该位。例:设x=n=3.1415926..

14、.那么x*=3,®(x)=0.1415926...<0.5X10°,则疋有效数字为1位，即个位上的3,或说x*秸确到个位。科学计数法：记X*=±0.a^2…3nX10^(其中引工0),若

15、x-x*

16、<0.5x10m-n,贝Ijx*有n位有效数字，精确到10m-no由有效数字求相对误差限:设近似值x*=±0.a1a2-anxl0m(a"0)有n位有效数字，则其相对误差限为丄xlO-n山相对误差限求有效数字：设近似值疋=±0.aia2.-anx10m(ai主0)的相对误差限为为八Ix101_n则它有n位有效数字令X*、y堤X、y的近似值,且

17、x*-x

18、<

19、T](x)>

20、y*-y

21、

22、x*

23、*T](y)+

24、y*

25、*q(x)1.避免两相近数相减2.避免用绝对值很小的数作除数3.避免大数吃小数4.尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1•逐步搜索法设f(a)<0,f(6)>0,有根区间为(m,从垃二w岀发，按某个预定步长(例如hS/2—步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别fix｝二代寸kA的

26、符号，若“灯>0(而£(畑)〈0),则有根区间缩小为[w,如(若f(必)二0,从即为所求根)，然后从“I出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：I110.将[ao,厶]对分，中点&二(Q+Q/2),计算f(Xo)o对于给定精度£,即穿V£，可得所需步数k,k〉[ln(bf「n進)zKInz3.比例法一般地，设[弘切为有根区间，过(％f(G)、6f(G)作直线，与x轴交于点弘则：x=a—詁舀^(b—a)1.试位法

27、每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公式)，使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。事先估计：

28、x*-xk

29、S占

30、xi-x0

31、事后估计

32、x*一x订S占

33、Xk+i一xk

34、局部收敛性判定定理：设疋为方程X=(p(x)的根，(p(x)‘在X*的某一邻域内连续，且

35、(p(xY

36、Vl,则该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近Steffensen迭代格式：Xr+1=gk)xk+i=

37、(xk+i-xk)2Xk+1Xk文k+]_2xk+1+xkNewton下山法：xk+1=xk~是下山因子t(Xk)弦割法：Xk+if(Xk”(Xk-Xk-l)f(xk)-f(xk-i)抛物线法：令t=x-xk/h0=Xk_2一xk/ht=Xk_i一Xk，可化为y(t)=at2+bt+c其中：(f(Xk-2)-C)*hi-(f(xk_!)-c)*h0a=27h]*h0—h0*h](f(xk_i)-c)*h02-(f(xk_2)-c)*hi20=57h]*hg—h°*h]C=f(Xk)则：(—2cXk+~>0p_Jb+Vb2—4acXk+1-]2cIb+

38、Vb2—4ac设迭代畑二g(Q收敛到的不动点(根)x*设歐二匕-站若linikT8性畔=C,kklp则称该迭代为Q(不小于1)阶收敛，其中C(不为0)称为渐进误差常数第三章解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元Sj=aik-Er=ihrurk，i=k,k+1...n选主元

39、Sik

40、=maXkM?{

41、Sil}(j=1,2...n)(i=2,3...n)(j=k,k+1,…n),即为上式主元对于Ax=b,三角分解A=LU,Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵;Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：下三角方程

42、组上三角方程组若利用紧凑格式可化为：Ux=yi=t>ik-lyk=bk-》Gym，(k=2,3...n)m=