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1、工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一.解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字(注意根据什么?):a)对e=2.718281828459045…,取=2.71828b)数学家祖冲之取作为的近似值.c)经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位,位。2)简述下名词:a)截断误差(不超过60字)b)舍入误差(不超过60字)c)算法数值稳定性(不超过60字)3)试推导(按定义或利用近似公式):计算时的相对误差约等于的相对误差的3倍。4)
2、计算球体积时,为使其相对误差不超过0.3%,求半径的相对误差的允许范围。5）计算下式时,为了减少乘除法次数,通常采用什么算法?将算式加工成什么形式?6)递推公式如果取(三位有效数字)作近似计算，问计算到时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二.插值问题:1)设函数在五个互异节点上对应的函数值为，根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式，满足插值条件(B).对此，为了构造Lagrange插值多项式,由5个节点作(C)个、次数均为(D)次的插值基函数第8页(共8页)=_（E），从而得Lagrange插值多项式=（F）,而插值余项=（G）。2)试用三种方法求过
3、三个离散点：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多项式。3）求函数在[0,1]上的近似一次插值多项式。4)由函数值表::123:0.367879441,0.135335283,0.049787068求的近似值.5)利用插值方法推导三.拟合问题:1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A)和(B).2)对同一个量的多个近似值,常取其算术平均作为该量的近似值,这种做法的意义是什么?3)设有实验数据如下：1.361.731.952.2814.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线。4)已知某试验过程中函数依赖于的试验数据如下：：
4、4：0.81.51.82.0试按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。5)设有实验数据如下：12344101826按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。四.数值求积:1)写出数值求积公式的一般形式,指出其特点,并说明它对计算机的计算有什么意义?第8页(共8页)2)简述数值求积公式的”代数精度”的概念3)插值型求积公式中,每个系数可用公式=(A)计算,它们之和=(B),其代数精度(C).又Newton-Cotes公式的一般形式为(D),其主要特点是(E),其Cotes系数之和=(F),其代数精度(G);4)考察数值求积公式,直接指出:它是什么类型的公式?为使其精度尽可能高,
5、应取什么确值?它是不是Gauss型公式?5)求的近似值,试写出使用11个等分点函数值的求积公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果)。6)利用复化Simpson公式求积分的近似值（只需列出算式）。7)利用现成函数表，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分五.解线性代数方程组的直接法:1）Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A．提高计算速度；B．提高计算精度；C．简化计算公式；D．提高计算公式的数值稳定性；E．节省存储空间。第8页(共8页)2）采用“列主元Gauss消去法”解下列方程组：a)用”列主元Gauss消去过程”将方程
6、组约化成上三角方程组;b)用”回代过程”依次列式计算出方程组的解。3)设方程组现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答：a）所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b）要用几步消元？c）每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?d）现经第１步消元结果,上述方程组已被约化为请你继续做消元计算,直至约化成上三角方程组。e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。六.解线性代数方程组的迭代法:1)解线性代数方程组的基本型迭代公式其中称为什么?又称为什么?如果迭代序列有极限（即迭代公式收敛），则极限是什么？2）设解线性代数方程组（其中非奇异，）的迭代公
7、式为则其迭代矩阵是什么?此迭代公式对任意的初始向量第8页(共8页)收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量收敛的一个充分条件是什么？3)设线性方程组，试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么?试用初值计算GS迭代公式的前三个值.4)设方程组试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.5)设线性方程组请按便于计算的收敛充分条件,求使J法和GS法均收敛的的取值范围.七．一元方程求根:1)写
