第13讲 数学建模 插值

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1、数学建模与数学实验后勤工程学院数学教研室插值1实验目的实验内容2、掌握用数学软件包求解插值问题。1、了解插值的基本内容。[1]一维插值[2]二维插值[3]实验作业2拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值一维插值一、插值的定义二、插值的方法三、用Matlab解插值问题返回3返回二维插值一、二维插值定义二、网格节点插值法三、用Matlab解插值问题最邻近插值分片线性插值双线性插值网格节点数据的插值散点数据的插值4一维插值的定义已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生,，表达式复杂,，或无封闭形式,，或未知.。5构造一个(相对简单的)函数通过全部

2、节点,即再用计算插值，即返回6称为拉格朗日插值基函数。已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为y0,y1,…,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下其中Li(x)为n次多项式：拉格朗日(Lagrange)插值7拉格朗日(Lagrange)插值特别地:两点一次(线性)插值多项式:三点二次(抛物)插值多项式:8拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘

3、出插值结果图形.例返回ToMatlablch(larg1)9分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.xjxj-1xj+1x0xnxoy10ToMATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回例用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13)11比分段线性插值更光滑。xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(

4、曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值12三次样条插值g(x)为被插值函数。13例用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)返回ToMATLABych(larg1)14用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值点插值节点xi处的插值结果‘nearest’：最邻近插值‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值。缺省时：分段线性插值。注意：所

5、有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。15例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。ToMATLAB(temp)hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');(直接输出数据将是很多的)plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作图xlabel('Hour'),ylabel

6、('DegreesCelsius’)16xy机翼下轮廓线例已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。ToMATLAB(plane)返回17二维插值的定义xyO第一种（网格节点）：18已知mn个节点其中互不相同，不妨设构造一个二元函数通过全部已知节点,即再用计算插值，即19第二种（散乱节点）：yx020已知n个节点其中互不相同，构造一个二元函数通过全部已知节点,即再用计算插值，即返回21注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值x

7、y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。返回22将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：分片线性插值xy(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f423插值函数为：第二片(上三角形区域)：(x,y)满