中考数学中的开放性问题

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1、中考数学中的开放性问题江苏省泰州市九龙实验学校顾广林（此文在国家级核心期刊《中学数学教学参考》2007.4上发表）新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试,并在不同程度上给予体现,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的

2、作用.下面例析活跃在2006年中考数学试题中的开放性试题.一、开放题常见的题型开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．1．条件开放型例1．（2006海口）如图，D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE∽△ABC.ABCDE分析：这是一道条件开放题，

3、只要寻求其成立的一个充分条件即可.如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC等∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC等.评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题．在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求．这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而是在问题情景中创造性地解决问题.2．结论开放型（图4）例2．（2006南昌）如图AB是⊙O的直径，BC是⊙O弦OD⊥CB于点E，交于点D（1）请写出三

4、个不同类型的正确结论：（2）连结CD，设∠CDB=，∠ABC=，试找出与之间的一种关系式并给予证明.解：（1）不同类型的正确结论不惟一．以下答案供参考：①BE=CE；②=；③∠BED=90°；④∠BOD②=∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦；⑧S△ABC=BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等．（2）与的关系式主要有如下两种形式．①答；与之间的关系式为-=90°.证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠A+∠ABC=90°．又∵四边形ACDB为圆的内接四边形，∴∠A+∠CDB=180°．

5、∴∠CDB-∠ABC=90°,即-=90°.②答与之间的关系式为>2.证明∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD，∴∠ODB>∠ABC．∵OD⊥BC，∴，∴CD=BD．∴∠CDO=∠ODB=∠CDB，∴∠CDB>∠ABC，即>2．评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展，而第（2）小问中渗透的开放性问题，对知识的整合大有裨益。解决这类问题的关键是通过观察、分析，发现图

6、形所具有的特征及其中隐含的关系．这道开放题留给学生很大的想象空间.充分显示出思维的多样性，同时也体现了不同学生对数学学习的个性化.教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力.3．条件和结论都开放型例3（2006汉川）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题_____________________.DABCEO(1)AE=AD(2)AB=AC(3)OB=OC(4)∠B=∠C分析：，四个条件任取二个，共有6

7、种不同的组合．要求写出相应的6种命题并一一进行研究，这是一个很有价值的研究性课题．本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性．通过证明△ABE≌△ACD，即可组建真命题（1）（2）（4）；（2）（4）（1）；（1）（4）（2）等。点评：本题是条件和结论都开放的试题，可以充分考查学生对几何知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念。这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高

8、创新意识及自主探索新知识的能力.二、按知识分类１．操作设计类开放题例8（2006大连）如图-l，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE．探究：(1)请猜想与线段DE有关的三个结论；(2)请你利用图—2、图—3选择不同位置的点P按上述方法操作；(3)经历(2)之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明