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1、§4.1向量组及其线性组合主要内容：一、n维向量的定义二、向量组的定义三、向量组的线性组合四、向量组等价五、向量组的线性表示§1向量组及其线性组合定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数称为第i个分量.例n维向量§1向量组及其线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组的一个线性组合,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数.例§1向量组及其线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,…,
2、am,和向量b,如果存在一组数λ1,λ2,…,λm,使b=λ1a1+λ2a2+…+λmam,则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组b=x1a1+x2a2+…+xmam有解.§1向量组及其线性组合向量b能由向量组A线性表示.方程组有解.例§1向量组及其线性组合定理向量b能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,am,b)的秩.§1向量组及其线性组合例～解因为由此可知，R(A)=3,R(B)=
3、4，即R(A)≠R(B)，因此向量b不能由向量组A线性表示.§1向量组及其线性组合定义:设有两个向量组A:a1,a2,…,am及B:b1,b2,…,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:则称向量组B能由向量组A线性表示.§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:则称向量组A与向量组B等价.§1向量组及其线性组合定理向量组B:b1,b2,…,bl,能由向量组A:a1,a2,…,am线
4、性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl)的秩,即R(A)=R(A,B).§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A线性表示.§1向量组及其线性组合推论向量组A:a1,a2,…,am与向量组B:b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:向量组B与向量组A等价.§1向量组及其线性组合定理设向量组B:b1,b2,…,bl,
5、能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示,则R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am).
