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1、只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。定义6.10（二次型标准形）平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形称为二次型的规范形。（见书第五节二次型的规范形）以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换则f化为思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx定理6.12(惯性定理)总
2、可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形其中r是二次型f的秩，p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数计），且规范形是唯一的.证明略二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型f的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述)正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等.n阶实
3、对称矩阵A合同于，其中r是A的秩，p是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计）惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定.思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称
4、矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义化标准形化规范形正定二次型为正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。显然，如果f负定，则–f正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。定理二次型f(x)=xTAx正定的充要条件是对任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.(注：书上以后者为定义)证设必要性：设f正定，即对
5、任意x≠0，则，故充分性：反证。如果有某个，取,与矛盾。如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正(秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵.定义6.13显然，如果f负定，则–f正定.设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x，(1)恒有f(x)≥0，则称实二次型f(x)是半正定的；(2)恒有f(x)≤0，则称实二次型f(x)是半负定的.定义6.14我们重点讨论正定二次型(正定矩阵).定理(霍尔维
6、茨定理)对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即总结:二次型f(x)=xTAx为正定二次型(A为正定矩阵)判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f的矩阵为解例2解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值判别二次型的正定性.例3解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别－Ａ为正定.例4与矩阵合同的矩阵是()A特征值是两正一负。是正定二次型？解二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5问t
7、满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时f正定。例6设是正定矩阵,证明例7证明ATA为正定矩阵的充要条件是A为列满秩矩阵.例8为A的最大特征值。证明：二次型f(x)=xTAx在时的最大值思考题：1、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；正定二次型本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型.在n维的二次型中,如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩
8、阵的合同等价类。什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.例如与不可能等价.因为不存在可逆矩阵C满足因为例6.16设A为正定矩阵，证明证明因为A为正定矩阵，所以A的特征值全大于零.设是A的所有特征值，则A+E的特征值为从而例6.17设A=(aij)是正定矩阵，证明aii>0(i=1,2,…,n).证明因为A为正定矩阵，则对于任意n元实向量x≠0，
