数值逼近 课程设计

《数值逼近 课程设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《数值逼近》课程设计求解方程陈嘉生1040501211【摘要】函数方程求根是实际应用中经常遇见的问题。在高等代数课程中，已经接触过多项式的求根。下面将使用迭代法、牛顿法求解方程的根，然后比较这两种方法。【关键词】函数求根；迭代法；牛顿法；比较一、引言迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（IterativeMethod）。迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，与之相对应的是直接法或者称为一次解法，

2、即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。牛顿迭代法（Newton'smethod）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附

3、近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。二、问题提出（1）求在中的根；（2）求的根；三、基本原理1.迭代法迭代法是数值计算中最常用的求近似值的方法，对函数方程(1.1)用迭代法求近似根，先将方程化为等价的方程(1.2)称为迭代函数。所谓等价就是：如果是方程的根，那么，反之如果满足方程，那么。最简单的等价变换是令。当然还可以根据的特点进行变换。迭代法就是求方程的解的一种解法：取一个初始近似，然后由(1.3)产

4、生一个序列。定理1：设在有限区间上连续，且当时，，如果满足Lipschitz条件：(1.4)且，则对任意选取的初始近似，由迭代过程产生的序列收敛到方程的解。它是方程在中的唯一解，且有估计(1.5)或(1.6)推论：若在上连续可导，切对任意，，又当，，则定理结论仍成立。【求解问题】（1）根据迭代法原理建立迭代公式：，其中。取初值，迭代次数，进行迭代（见附录①），结果如下：（2）与题（1）方法相似，建立迭代公式，其中。取初值，迭代次数，进行迭代（见附录②），结果如下：1.牛顿法Newton法也是一种迭代

5、法。对于方程取定一个，它产生的序列由下述公式决定：(2.1)公式可以由Taylor级数展开式导出。作Taylor级数展开并取线性部分。记是方程的根，于是将右边的二次项去掉，即得另满足：即得公式，同时有误差关系式：或(2.2)定理2：对于方程如果取定初始近似，且满足下列条件：(1)存在，并且有实数，使得，(2)在圆中满足Lipschitz条件：，(3)，则方程在圆有一个根存在，且由Newton法式产生的序列：收敛于，并有估计：(2.3)这里，都是由引理给出的，且【求解问题】（1）根据牛顿法原理建立迭代

6、公式：取初值，迭代次数，进行迭代（见附录③），结果如下：（2）与题（1）方法相似，建立迭代公式：取初值，迭代次数，进行迭代（见附录④），结果如下：一、结果分析迭代的结果取决于迭代是否收敛，即是否满则迭代收敛定理的条件。下面我们针对问题一分析，图为在的函数图象，可见函数单调递增且连续。由图可知，，使，所以不满足定理1的第一条件，因此迭代方程不收敛，无法求出近似解，于是迭代过程中出现了发散现象。而采用牛顿法，则满足上述定理2的条件，则迭代收敛。下图为的图像：可以看出，在左右趋于0，而我们由迭代公式求得的

7、也收敛于。可见收敛效果还不错。由此可看出，即使方程有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，会导致迭代失败。【参考文献】1、蒋尔雄，赵风光，苏仰锋：《数值逼近》第二版。（复旦大学出版社，2007）【附录】①②③④