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1、高考中的翻折问题（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分） 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）图1图219本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面
2、角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3在图1中，取BE中点D，连结DF.AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600,∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1,∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP在图2中，A1E不垂直A1B,∴A1E是平面A1B
3、P的垂线，又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=600,∴△EBP是等边三角形.又A1E⊥平面BEP,∴5高考中的翻折问题A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且,又A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o,∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM
4、⊥A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1,∠C=600,∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,∵A1E⊥平面BEP,∴A1E=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴.∵MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得在△FMQ中，∴二面角B－A1P－F
5、的大小为10．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（ ）Ａ．Ｃ．Ｂ．Ｄ．图6PEDFBCA19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？5高考中的翻折问题（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，V(x)=（）（2），所以时，，V(x)单调递增；时，V(
6、x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；18．（2007）如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图3．AEBCFDG18．解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（II）过点作于点，连结．由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角．因为平面平面，平面平面，，5高考中的翻折问题平面，所以平面
7、，故．因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．由题设，，，则．所以，，，．因为平面，，所以平面，从而．故，．又，由得．故．即直线与平面所成的角是．解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，，，则，，，相关各点的坐标分别是，，，．所以，．设是平面的一个法向量，由得故可取．过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．因为，所以，．设（），
8、由，解得，所以．设和平面所成的角是，则5高考中的翻折问题．故直线与平面所成的角是．5
