补充-线性方程组

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1、线性方程组的几种形式含m个方程n个未知量的线性方程组一般形式方程组的矩阵形式为Ax=b其中向量形式为其中§3.5线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的性质性质1若是齐次线性方程组(1)的两个解，则也是它的解.齐次线性方程组Ax=0(1)证明因为是(1)的解,因此于是即也是方程组(1)的解.从而齐次线性方程组若有非零解，则它就有无穷多个解.若是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合也是其解.为任意常数.由上述性质，易得：性质2若是齐次线性方程组(1)的解，则也是它的解(k为常数).证明由得即

2、也是方程组(1)的解.定义3.10如果是齐次线性方程组(1)的解向量组中的一个极大无关组，则称为方程组(1)的一个基础解系.注：基础解系不唯一.当一个齐次线性方程组只有零解时，该方程组没有基础解系，而当一个齐次线性方程组有非零解时，是否一定有基础解系？如果有的话，怎样去求基础解系？定理3.13如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A的秩r(A)=r

3、同解的方程组为其中为自由未知量.对个自由未知量分别取则可得原方程组的n-r个解:下面证明是方程组Ax=0的一个基础解系.首先证明线性无关设则K有n-r阶子式即r(K)=n-r.所以线性无关.其次再证明方程组Ax=0的任意一个解都是线性组合.因为所以即是的线性组合.所以是方程组Ax=0的一个基础解系,因此方程组Ax=0的全部解为(为任意常数)定理的证明过程指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.例1.求如下齐次线性方程组的一个基础解系.例2.用基础解系表示如下线性方程组的全部解.注意：当齐次方程组Ax=0的系数矩阵A的

4、秩r(A)=n时,方程组不存在基础解系，方程组Ax=0仅有零解；当r(A)=0(即A为零矩阵)时，任意n个线性无关的n维列向量均为方程组Ax=0的基础解系.例3设矩阵满足AB=O,并且r(A)=r.试证:r(B)n-r结论:若AB=O,则r(A)+r(B)n二、非齐次线性方程组解的结构定义非齐次线性方程组Ax=b,当b=o,得到的齐次线性方程组Ax=0,称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组.非齐次线性方程组Ax=b的解与它导出组Ax=0,的解之间有下列性质:(1)如果是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,是其导出组

5、的一个解,则也是方程组Ax=b的一个解因为则即也是非齐次线性方程组Ax=b的解.(2)如果是非齐次线性方程组的两个解,则是其导出组的解.定理3.14如果是非齐次线性方程组的一个解,是其导出组的全部解,则是非齐次线性方程组的全部解.因为则即是其导出组Ax=0的解.证明:由性质(1)知,加上其导出组的一个解还是非齐次线性方程组的一个解.所以只需证明非齐次线性方程组的任一个解一定是与其导出组某一解的和.取由性质(1)知,是导出组的一个解.于是即非齐次线性方程组的任一个解均为其一个解与其导出组某解之和.由此定理可知,如果非齐

6、次线性方程组有解,则只需求出它的一个解,并求出其导出组的基础解系,则其全部解可以表示为为任意常数)如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.(例4.用基础解系表示如下线性方程组的全部解.例5作业P16120（2）23（2）24线性方程组的几种形式含m个方程n个未知量的线性方程组一般形式方程组的矩阵形式为Ax=b其中向量形式为其中齐次方程组也有相应的三种形式1．向量组的线性组合与线性表示，若存在一组数定义3.5给定向量组和向量，使则称是向量组A的

7、线性组合，或称能由向量组A线性表示（或线性表出）.线性表出的充要条件是定理3.3设向量则向量能由矩阵与矩阵的秩相等.对于行向量组只需将其每一个向量转置即可.2．向量组线性相关、线性无关定义1设ｎ维向量组为零的数，使得则称向量组，如果存在不全线性相关.反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关.由此定义知：（1）向量组线性相关的充要条件为齐次线性方程组（*）存在非零解；（2）向量组线性无关的充要条件为齐次线性方程组（*）只有零解；定理3.5对于m维列向量组,其中则线性相关的充分必要条件是:以为列向量的矩阵的秩小于向量的个

8、数n.对于m维行向量组,其中则线性相关的充分必要条件是:以为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n.m维列向量组线性无关的充分必要条件是:以为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n.推论1设n个n维向量(j=1,2,,n),则向量组线性相关的充分必要条件是或者说，上述向量组线性无关的充分必要条件是推论2当向量组中所含的向量的个数大于向量的维数时，此向量组