连续介质力学

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1、连续介质力学作业（第二章）习题1、初始构型和当前构型的转换关系：22x=X+X，x=X+X，x=X1122123322其中()X,X,X为一个物质点在初始构型上的坐标，(x,x,x)为同一个物质点在当前构型上的坐标。参考123123基是e,e,e标准正交基123~~~求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green变形张量C（3）Green变形张量E（4）初始构型上一向量X=Xe+Xe+Xe，变形后在当前构型上是x，证明112233~~~~~x•x=X•C•X和x•x−X•X=X•(2E)•X~~~~~~~~~~（5）左Cauchy-Green变

2、形张量b（6）Almansi变形张量A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为(X,Y)，经过t时刻后，变为(x,y)，其中：x=X+atY，y=Y，其中a是常数。求：（1）变形梯度F（2）Green变形张量E（3）速度梯度L•（4）变形张量率ε•（5）Green应变速率E3、证明：2n（1）若B为客观张量，证明B，B是客观张量。（2）若M、N为客观张量，证明M•N是客观张量。4、横截面为圆形的杆，单轴拉伸，拉力为P，初始长度L，半径R；当前长度l，半径r。如图：~P~P~rxRLlzy初始时刻坐标为()X,Y,Z，经过t时刻后，变为(x,y,z)

3、。x=λXy=λYz=λZ123lr其中λ=λ=λ=123LR求：（1）R，F，U，V（2）C，E，b，A（3）验证：当λ，λ，λ趋近于1的时候，E和A近似相等123（4）L••（5）E，ε（6）Cauchy应力σ，2ndP-K应力S，1stP-K应力P•••（7）验证∫σ:εdv=∫S:EdV=∫P:FdVvVV5、均匀拉杆受轴向拉力，拉力同时也随杆一起转动。考虑二维情况，取笛卡尔坐标系，初始水平状态，x方向轴向应力k，逆时针旋转，转速为ω，经过t时刻后。kYyxkXkk求：（1）还是参考笛卡尔坐标系，求Cauchy应力σ•（2）σ（3）速度梯度L

4、•（4）ε•（5）Cauchy应力的Jaumann速率σJC••可验证：ε为0时，σ不为0，不能直接建立二者之间的本构关系。6.左极分解和右极分解的左拉伸张量(V)和右拉伸张量(U)各自的特征向量是否相同？试给出说明。7.可压缩理想流体本构方程：σ=−p()ρI。即一点处压力p是密度ρ的函数。证明这个本构方程满足客观性原理，即σ'=−p()ρ'I8.试由Cauchy应力的客观性证明Kirchhoff应力是客观的。