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1、场论概要如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物理量的场。数量场:温度场、电位场等矢量场:速度场、力场等1.梯度（gradient）若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个函数在M点处的梯度▽称为Hamilton算符若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i方向导数2.散度（divergence）称为矢量v在S上的通量Gauss公式(奥高公式，或奥式公式)：通量散度物理意义:若divu<0则表示在该点处有“汇”若divu>0则表示在该点处有“源”若
2、divu=0则表示在该点处无“源”无“汇”其大小表示“源”和“汇”的强度与坐标系无关3.旋度（rotation）Stokes公式：设G为分段光滑的空间有向闭曲线,S是以G为边界的分片光滑的有向曲面,G的正向与S法线符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ),,(zyxR在包含曲面S在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式的对于矢量场u，称为沿L的环量。若L为某一曲面S的边界，曲面S的法线单位矢量为n，而且曲线L的走向与n满足右手法则，则根据Stokes公式，有：物理意义：旋度是用来描述一个旋涡源(vortexsource)的旋涡流强度的，而所谓
3、的旋涡源(vortexsource)就是一个能在其周围造成一个“环”(即：环量∮u.tdL)的流源。因此为了描述此旋涡源的強度，定义:单位面积的最大环量称作旋度,其方向为此环所为的面的法向量。令：Ø矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数Ø一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。Ø旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方向。在矢量场中，若rotu＝J≠0，称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu＝0，称之为无旋场。小节：梯度：散度：旋度：并积数积矢积矩阵：方阵：行数＝列数；矩阵的转置：将m×n的矩阵A的行列互换，得到n×m的新矩
4、阵，称作A的转置，记为AT；列矩阵：只有一列的矩阵；行矩阵：列矩阵的转置；≠对称矩阵：对于方阵A，有A=AT；反对称矩阵：若AT=－A；对角阵：方阵A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，记为A=diag（A11,A22,…,Ann）；单位阵：对角线元素全为1的对角阵，记为I；矩阵的加法分解：任意方阵A都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。令：逆矩阵：对于方阵A，若存在方阵B，使AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记为B=A－1逆矩阵存在的充要条件是
5、A
6、≠0克莱默法则：A-1=A*/
7、A
8、其中：伴随矩阵,余子式：代数余子式：=(-1)i+j余子式关于转
9、置和逆的计算规则:转置:逆:正交矩阵：对于方阵A，若有A－1＝AT，则称A是正交矩阵例1.15如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度形成新坐标系，导出其坐标变换矩阵M，并说明M是正交矩阵。图1.12平面直角坐标变换解：由图1.12易得，新坐标系的单位矢量即上式可简记为和(1.59)易于证明，M满足条件，故M是正交矩阵。M还可表示为在三维情况下其中可以证明：若反过来考虑，坐标变换是则存在：比较可以看出，M*=MT而推导可以得到，M*=M-1MT＝M-1坐标变化矩阵M是正交矩阵同理，一个正交矩阵必对应一个坐标变换。（a）若绕过原点的某轴的一个旋转（b）若(1)
10、绕过原点的某轴的一个旋转;(2)对某个轴的反射,右手系的原坐标系改换为左手系;(a)右手系保持为右手系(b)右手系改换为左手系对于方阵A，若存在着数λ和非零向量b，使矩阵的特征值成立，则称是方阵A的特征值，称b是A的特征向量。求解方法：特征方程：对于三阶方阵A，其特征方程为展开得:特征方程可记为:在A的特征值求得后，将其代入特征方程，即得：特征向量b就是上述齐次方程的非零解。当A是对称矩阵时，有如下定理成立：A的特征值均为实数。对应于不同特征值的特征向量相互正交。若λ是特征方程的m重根，则相应的齐次方程一定存在着m个线性无关的非零解，并可由此而导出m个相互正交的特
11、征向量。例1.18求A的特征值和特征方向。解：特征方程为:故特征值将特征值依次代入线性齐次方程组，对应于的方程为可取其解为:对应于，齐次方程组为可求得其基础解系为b(2)=p(2)p(3)b(3)b(1)图1.15特征向量注意这样得到的特征方向，一定有b(1)与p(2)正交，b(1)与p(3)正交。虽然p(2)与p(3)不一定正交，但两者构成基础解系的两个基，因而线性无关。这两个向量的线性组合的全体张成了与b(1)正交的平面（如图1.15），这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于λ2和λ3的主方向。如果要取三个两两正交的方向，那么，可根据b(1)和p(2)
12、的方向将p
