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《不动点迭代法及其收敛定理(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§6.2不动点迭代法及其收敛定理第6章方程与方程组的迭代解法一、迭代法原理--------(2)将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程继续--------(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法则称迭代法(3)收敛,否则称为发散--------(4)例1.解:(1)将原方程化为等价方程显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?迭代函数的构造有关如果将(2)式
2、表示为与方程(2)同解收敛发散定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收敛性)迭代过程的收敛性证:由条件(1)由根的存在定理,证:由由微分中值定理证毕.定理1指出,只要构造的迭代函数满足由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,--------(8)定义1：如果存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=
3、0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于
4、d7
5、=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251由定理1的(7)式出,迭代法收敛就越快定义1.--------(9)迭代法收敛速度定理3.例解:本题迭代函数有两种构造形式,迭代法发散.(2)迭代法收敛.(1)Newton迭代法将f(x)在点xn作Taylor展开:——Taylor展开线性化f(x)=0近似
6、于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)从(1)解出x,记为xn+1,则1.Newton迭代公式建立它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在f(x)=0的根x*的某个邻域内,在x*的邻域R内，对任意初值，应用公式（2）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.2.Newton迭代法的几何意义与x轴(y=0)的交点x,作为下一个迭代点xn+1,即用f(x)在xn处的切线Newton迭代法又称切线法.例用Newton迭代法求下面方程的一个正根,计算结果精确到7位小数.解:由Newton迭代法由Newton迭代法x1=1.466
7、6667,…,x4=1.3688081x5=1.3688081迭代5次精度达10-7x*≈1.3688084.Newton迭代法收敛定理（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;（2）定理设f(x*)=0,,且在x*的邻域上存在,连续,则可得证：将f(x)在xn处作2阶Taylor展开,并将解x*代入注意到ξn在xn及x*之间,及,故所以，Newton法至少二阶收敛.注意到ξn在xn及x*之间,及,故例3.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义1注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的Newton迭代公式是一种特
8、殊的不动点迭代,其迭代矩阵为:Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.方法有效前提:Newton迭代法的特征5.Newton迭代法的应用----------开方公式对于给定正数应用牛顿迭代法解二次方程可导出求开方值的计算公式设是的某个近似值，则自然也是一个近似值，上式表明，它们两者的算术平均值将是更好的近似值。定理开方公式对于任意给定的初值均为平方收敛。牛顿迭代法的优缺点优点：在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。缺点:1.重根情形下为局部线性收敛;2.牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算
9、微商值;3.选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;牛顿迭代法的改进缺点克服:1.局部线性收敛------改进公式或加速2.每步都要计算微商值-----简化Newton迭代法或弦截法3.初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”方法一.若已知重数m(m>1),则利用m构造新的迭代公式:此时,,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二.取,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导
