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1、迭代法的加速二、Aitken加速法一、待定参数法/*acceleratingconvergence*/若
2、g’(x)
3、1，则将x=g(x)等价地改造为求K，使得一、待定参数法例：求在(1,2)的实根。如果用进行迭代，则在(1,2)中有现令希望，即在(1,2)上可取任意，例如K=0.5，则对应即产生收敛序列。设xk是根x*的某个预测值，用迭代公式校正一次得：假设在所考虑范围内改变不大，其估计值为L，则有二、Aitken加速法相除将再校正一次，所以Aitken加速：xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,x1)
4、x1x2P(x1,x2)一般地，有：比收敛得略快。Newton迭代法将f(x)在点xn作Taylor展开:——Taylor展开线性化f(x)=0近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)从(1)解出x,记为xn+1,则1.Newton迭代公式建立它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在f(x)=0的根x*的某个邻域内,在x*的邻域R内，对任意初值，应用公式（2）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.2.Newton迭代法的几何意义与x轴(y=0)
5、的交点x,作为下一个迭代点xn+1,即用f(x)在xn处的切线Newton迭代法又称切线法.例用Newton迭代法求下面方程的一个正根,计算结果精确到7位小数.解:由Newton迭代法由Newton迭代法x1=1.4666667,…,x4=1.3688081x5=1.3688081迭代5次精度达10-7x*≈1.3688084.Newton迭代法收敛定理（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;（2）定理设f(x*)=0,,且在x*的邻域上存在,连续,则可得证：将f(x)在xn处作2阶Taylor展开,
6、并将解x*代入注意到ξn在xn及x*之间,及,故所以，Newton法至少二阶收敛.注意到ξn在xn及x*之间,及,故例3.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义1注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代矩阵为:Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.方法有效前提:Newton迭代法的特征5.Newton迭代法的应用----------开方公式对于给定正数应用牛顿迭代法解二次方程
7、可导出求开方值的计算公式设是的某个近似值，则自然也是一个近似值，上式表明，它们两者的算术平均值将是更好的近似值。定理开方公式对于任意给定的初值均为平方收敛。牛顿迭代法的优缺点优点：在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。缺点:1.重根情形下为局部线性收敛;2.牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3.选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;牛顿迭代法的改进缺点克服:1.局部线性收敛------改进公式或加速2.每步都要计算微商
8、值-----简化Newton迭代法或弦截法3.初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”方法一.若已知重数m(m>1),则利用m构造新的迭代公式:此时,,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二.取,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导数.6.Newton法的改进(I)---重根情形Newton迭代法需要求每个迭代点处的导数f’(xk)复杂！这种格式称为简化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改进(II)则Newton迭代法变为这种格
9、式称为弦截法收敛阶约为1.618例4用简化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比较解:由简化Newton法由弦截法由Newton迭代法x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;
10、x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553简化Newton法由弦截法要达到精度10-8简化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963
